Optimización de clientes en un taller

**a) ¿Qué día acuden menos clientes a cambiar las ruedas de su coche? ¿Cuántos clientes son? (0.75 ptos)** Para encontrar los máximos y mínimos de la función en el intervalo $[1, 5]$, primero debemos calcular su derivada $f'(x)$ e igualarla a cero para hallar los puntos críticos. La función es: $f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 24x + 75$ Derivamos término a término: $$f'(x) = 6x^2 - 30x + 24$$ Ahora, igualamos la derivada a cero: $$6x^2 - 30x + 24 = 0$$ Podemos simplificar la ecuación dividiendo todos los términos por 6: $$x^2 - 5x + 4 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: $$x_1 = \frac{8}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1$$ Ambos puntos, $x=1$ y $x=4$, pertenecen al dominio del problema $[1, 5]$. 💡 **Tip:** Los extremos absolutos en un intervalo cerrado pueden estar en los puntos donde la derivada es cero o en los extremos del propio intervalo ($x=1$ y $x=5$).

Analizamos el signo de la primera derivada en el intervalo de estudio para ver dónde crece y decrece la función. $$\begin{array}{c|ccccc} x & 1 & (1, 4) & 4 & (4, 5) & 5 \\ \hline f'(x) & 0 & - & 0 & + & \text{N/A} \\ \hline f(x) & \text{Máximo} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow & \text{Extremo} \end{array}$$ - En el intervalo $(1, 4)$, si probamos con $x=2$: $f'(2) = 6(2)^2 - 30(2) + 24 = 24 - 60 + 24 = -12 \lt 0$, por lo que la función **decrece**. - En el intervalo $(4, 5)$, si probamos con $x=4.5$: $f'(4.5) = 6(4.5)^2 - 30(4.5) + 24 = 121.5 - 135 + 24 = 10.5 \gt 0$, por lo que la función **crece**. 💡 **Tip:** Si la función pasa de decrecer a crecer en un punto, estamos ante un **mínimo relativo**.

Para responder al apartado a), evaluamos la función en el punto donde hemos detectado el mínimo, que es $x=4$ (Jueves): $$f(4) = 2(4)^3 - 15(4)^2 + 24(4) + 75$$ $$f(4) = 2(64) - 15(16) + 96 + 75$$ $$f(4) = 128 - 240 + 96 + 75 = 59$$ El día que acuden menos clientes es el **jueves ($x=4$)** con un total de **59 clientes**. ✅ **Resultado (mínimo):** $$\boxed{\text{Jueves, 59 clientes}}$$

**b) ¿Cuál es el día que van más clientes a que les cambien las ruedas y cuántos son esos clientes? (0.75 ptos)** Debemos comparar los valores de la función en los posibles máximos: el punto crítico $x=1$ (Lunes) y el extremo del intervalo $x=5$ (Viernes). Para $x=1$ (Lunes): $$f(1) = 2(1)^3 - 15(1)^2 + 24(1) + 75 = 2 - 15 + 24 + 75 = 86$$ Para $x=5$ (Viernes): $$f(5) = 2(5)^3 - 15(5)^2 + 24(5) + 75$$ $$f(5) = 2(125) - 15(25) + 120 + 75$$ $$f(5) = 250 - 375 + 120 + 75 = 70$$ Comparando los valores: - Lunes ($x=1$): $86$ clientes. - Viernes ($x=5$): $70$ clientes. El mayor número de clientes se alcanza el **lunes**. ✅ **Resultado (máximo):** $$\boxed{\text{Lunes, 86 clientes}}$$