Votación de festival de cine (Sistemas de ecuaciones)

**a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántos votos obtuvo cada película. (1.5 ptos)** En primer lugar, definimos las variables que representarán las incógnitas del problema: - $x$: número de votos obtenidos por la película **A**. - $y$: número de votos obtenidos por la película **B**. - $z$: número de votos obtenidos por la película **C**. Traducimos el enunciado a lenguaje algebraico: 1. "El número de votantes es de 1200 personas": $$x + y + z = 1200$$ 2. "El número de votos de A es el doble de los conseguidos por B y C juntas": $$x = 2(y + z)$$ 3. "B consigue el 50 % de votos más que C". Esto significa que B tiene los votos de C más la mitad de los de C ($y = z + 0.5z$): $$y = 1.5z$$ 💡 **Tip:** Al plantear problemas de sistemas, identifica siempre qué representa cada letra. Asegúrate de que las unidades sean coherentes (en este caso, todas son número de votos).

Para facilitar la resolución, organizamos las ecuaciones anteriores en un sistema estándar, dejando las incógnitas a un lado y los términos independientes al otro: $$\begin{cases} x + y + z = 1200 \\ x - 2y - 2z = 0 \\ y - 1.5z = 0 \end{cases}$$ Podemos multiplicar la tercera ecuación por 2 para trabajar con números enteros si lo preferimos ($2y - 3z = 0$), aunque no es estrictamente necesario. ✅ **Resultado del planteamiento:** $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 1200 \\ x - 2y - 2z = 0 \\ y = 1.5z \end{cases}}$$

**b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 ptos)** Utilizaremos el método de **sustitución**, aprovechando que las relaciones entre variables son directas. Primero, sustituimos $x = 2(y + z)$ en la primera ecuación: $$2(y + z) + y + z = 1200$$ $$3(y + z) = 1200$$ Dividimos entre 3: $$y + z = 400$$ Ahora, sabemos que $y = 1.5z$. Sustituimos este valor en la ecuación simplificada anterior: $$1.5z + z = 400$$ $$2.5z = 400$$ Calculamos $z$: $$z = \frac{400}{2.5} = 160$$ 💡 **Tip:** Si te resulta difícil dividir por decimales, recuerda que $2.5 = \frac{5}{2}$, por lo que $\frac{400}{5/2} = \frac{800}{5} = 160$.

Una vez hallado $z = 160$, calculamos el valor de las otras variables: 1. Para **y**: $$y = 1.5 \cdot 160 = 240$$ 2. Para **x**: $$x = 2(y + z) = 2(240 + 160) = 2(400) = 800$$ **Comprobación:** Sumamos los votos: $800 + 240 + 160 = 1200$. El resultado es coherente con el enunciado. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{A: 800 votos, B: 240 votos, C: 160 votos}}$$