Operaciones con matrices, matriz inversa y propiedad conmutativa

**a) Calcula $(A - B)^2$. (0.75 ptos)** Primero, calculamos la matriz resultante de la resta $A - B$. Para restar matrices, restamos los elementos que ocupan la misma posición: $$A - B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - (-1) & 4 - 3 \\ 1 - 1 & 0 - (-5) \end{pmatrix}$$ Operando obtenemos: $$A - B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para sumar o restar matrices, estas deben tener la misma dimensión. Simplemente opera elemento a elemento: $c_{ij} = a_{ij} - b_{ij}$.

Ahora calculamos el cuadrado de la matriz resultante. Elevar una matriz al cuadrado consiste en multiplicarla por sí misma: $$(A - B)^2 = (A - B) \cdot (A - B) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto de matrices (fila por columna): - Elemento (1,1): $3 \cdot 3 + 1 \cdot 0 = 9$ - Elemento (1,2): $3 \cdot 1 + 1 \cdot 5 = 3 + 5 = 8$ - Elemento (2,1): $0 \cdot 3 + 5 \cdot 0 = 0$ - Elemento (2,2): $0 \cdot 1 + 5 \cdot 5 = 25$ $$\boxed{(A - B)^2 = \begin{pmatrix} 9 & 8 \\ 0 & 25 \end{pmatrix}}$$ 💡 **Tip:** El cuadrado de una matriz **NO** es el cuadrado de sus elementos individuales. Siempre debe realizarse el producto matricial $M \cdot M$.

**b) ¿Se podría calcular la matriz inversa de $(A - B)^2$? (0.25 ptos)** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|M| \neq 0$). Calculamos el determinante de la matriz obtenida en el apartado anterior: $$|(A - B)^2| = \begin{vmatrix} 9 & 8 \\ 0 & 25 \end{vmatrix}$$ Al ser una matriz de orden 2x2, el determinante es el producto de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria: $$|(A - B)^2| = (9 \cdot 25) - (8 \cdot 0) = 225 - 0 = 225$$ Como $225 \neq 0$, la matriz es regular (no singular). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, se puede calcular la inversa porque el determinante es } 225 \neq 0}$$ 💡 **Tip:** Una matriz tiene inversa si es una matriz regular, es decir, su determinante es distinto de cero.

**c) ¿Qué propiedad tienen que cumplir dos matrices $A$ y $B$ cualesquiera para que se cumpla $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$? (0.5 ptos)** Desarrollemos la expresión del lado izquierdo usando la definición de potencia y la propiedad distributiva del producto de matrices: $$(A - B)^2 = (A - B)(A - B) = A(A - B) - B(A - B) = A^2 - AB - BA + B^2$$ Para que esta expresión sea igual a $A^2 - 2AB + B^2$, debe cumplirse que: $$A^2 - AB - BA + B^2 = A^2 - 2AB + B^2$$ Simplificando los términos $A^2$ y $B^2$ en ambos lados: $$-AB - BA = -2AB$$ Si sumamos $AB$ en ambos lados: $$-BA = -AB \implies BA = AB$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las matrices } A \text{ y } B \text{ deben cumplir la propiedad conmutativa: } AB = BA}$$ 💡 **Tip:** Por norma general, el producto de matrices **no es conmutativo** ($AB \neq BA$). Por eso, las identidades notables de los números reales no siempre se aplican a matrices.