Probabilidad y Estadística 2020 Castilla la Mancha
Probabilidad: Test respiratorio en deportistas
5. En un municipio el 5 % de los habitantes son deportistas aficionados. El 0.5 % de estos deportistas aficionados no han superado un test respiratorio. Mientras que de los habitantes no deportistas aficionados el 15 % no han superado el mismo test respiratorio.
a) Elegido un habitante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no haya superado el test respiratorio? (0.75 ptos)
b) Sabiendo que un habitante elegido al azar no ha superado el test respiratorio, ¿cuál es la probabilidad de que sea deportista aficionado? (0.75 ptos)
Paso 1
Definición de sucesos y esquema del árbol
Para resolver este problema, primero definimos los sucesos que intervienen basándonos en los datos del enunciado:
- $D$: El habitante es deportista aficionado.
- $\bar{D}$: El habitante no es deportista aficionado.
- $T$: El habitante **no supera** el test respiratorio.
- $\bar{T}$: El habitante supera el test respiratorio.
Datos conocidos:
- $P(D) = 0.05$ (el $5\%$).
- $P(\bar{D}) = 1 - 0.05 = 0.95$ (el $95\%$).
- $P(T|D) = 0.005$ (el $0.5\%$ de los deportistas no superan el test).
- $P(T|\bar{D}) = 0.15$ (el $15\%$ de los no deportistas no superan el test).
Organizamos la información en un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total
**a) Elegido un habitante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no haya superado el test respiratorio? (0.75 ptos)**
Para calcular la probabilidad de que un habitante no supere el test ($T$), aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Un habitante puede no superar el test siendo deportista o no siéndolo:
$$P(T) = P(D) \cdot P(T|D) + P(\bar{D}) \cdot P(T|\bar{D})$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(T) = 0.05 \cdot 0.005 + 0.95 \cdot 0.15$$
$$P(T) = 0.00025 + 0.1425$$
$$P(T) = 0.14275$$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de todas las probabilidades que llevan al suceso final en el árbol te da la probabilidad total.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(T) = 0.14275}$$
(La probabilidad es del $14.275\%$).
Paso 3
Aplicación del Teorema de Bayes
**b) Sabiendo que un habitante elegido al azar no ha superado el test respiratorio, ¿cuál es la probabilidad de que sea deportista aficionado? (0.75 ptos)**
En este apartado nos piden una probabilidad condicionada a la inversa: conocemos el resultado del test (no lo ha superado) y queremos saber la probabilidad de que pertenezca al grupo de deportistas. Para ello, utilizamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(D|T) = \frac{P(D \cap T)}{P(T)} = \frac{P(D) \cdot P(T|D)}{P(T)}$$
Ya tenemos todos los valores:
- $P(D) \cdot P(T|D) = 0.05 \cdot 0.005 = 0.00025$
- $P(T) = 0.14275$ (calculado en el apartado anterior)
Calculamos el cociente:
$$P(D|T) = \frac{0.00025}{0.14275} \approx 0.0017513$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa siempre que nos pidan la probabilidad de una "causa" (ser deportista) sabiendo el "efecto" (no superar el test).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(D|T) \approx 0.00175}$$