Inferencia estadística: Intervalo de confianza y propiedades

**a) Halla el intervalo de confianza del 97 % para la media poblacional del contenido en fibra de un frasco de Berenjenas de Almagro. (1 pto)** Primero, identificamos los datos del problema: - Muestra ($n$): 10 frascos. - Datos: $60, 80, 120, 95, 65, 70, 75, 85, 100, 90$. - Desviación típica poblacional ($\sigma$): $10$ g. Calculamos la media muestral ($\bar{x}$): $$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{60+80+120+95+65+70+75+85+100+90}{10} = \frac{840}{10} = 84 \text{ g}.$$ 💡 **Tip:** La media muestral es el estimador puntual de la media poblacional y es el centro de nuestro intervalo de confianza. $$\boxed{\bar{x} = 84 \text{ g}}$$

Para un nivel de confianza del $97 \%$, tenemos: $$1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 0.03 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.015.$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985$. Consultando la tabla de la distribución normal estándar $N(0,1)$, buscamos el valor $0.985$ en el interior de la tabla: - Para la probabilidad $0.985$, corresponde un valor de $z = 2.17$. Por tanto: **$z_{\alpha/2} = 2.17$**. 💡 **Tip:** Recuerda que el nivel de confianza es el área central bajo la campana de Gauss. El área que queda fuera en las colas es $\alpha$, repartida en $\alpha/2$ a cada lado. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.17}$$

La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.17 \cdot \frac{10}{\sqrt{10}} = 2.17 \cdot \sqrt{10} \approx 2.17 \cdot 3.162 = 6.86 \text{ g}.$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $84 - 6.86 = 77.14$ - Límite superior: $84 + 6.86 = 90.86$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC = (77.14, 90.86)}$$

**b) Razona y explica qué se podría hacer para que el intervalo de confianza tuviera menor amplitud con el mismo nivel de confianza. (0.5 ptos)** La amplitud de un intervalo de confianza es la diferencia entre sus extremos, es decir, el doble del error: $$A = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Para que la amplitud disminuya manteniendo el mismo nivel de confianza (lo que implica mantener fijo $z_{\alpha/2}$), observamos la fórmula: 1. **Aumentar el tamaño de la muestra ($n$):** Al estar $n$ en el denominador, si $n$ aumenta, el valor de la fracción disminuye, reduciendo así el error y la amplitud. 2. La desviación típica $\sigma$ es una característica de la población y normalmente no se puede modificar. 💡 **Tip:** A más datos (mayor $n$), más precisión tenemos sobre la media, por lo que el intervalo se estrecha. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{Se debe aumentar el tamaño de la muestra } n}$$

**c) ¿Crees que la media poblacional $\mu$ del contenido en gramos de fibra de un frasco de Berenjenas de Almagro es de 85 gramos con una probabilidad del 98.5 %? Razona tu respuesta. (0.5 ptos)** La afirmación es **falsa** por dos razones fundamentales en estadística: 1. **Naturaleza del parámetro:** La media poblacional $\mu$ es un valor fijo y constante (aunque desconocido). No es una variable aleatoria, por lo que no tiene sentido decir que tiene una probabilidad de ser un valor concreto. O es 85 o no lo es. 2. **Probabilidad de un punto:** En distribuciones continuas, la probabilidad de que una variable tome un valor exacto (como $85.000...$) es siempre cero: $P(X = x) = 0$. 3. **Confusión conceptual:** El valor $98.5\%$ (o $0.985$) es la probabilidad acumulada que usamos para hallar el valor crítico, pero el nivel de confianza del experimento es del $97\%$. Esto significa que, si repitiéramos el muestreo muchas veces, el $97\%$ de los intervalos calculados contendrían a la verdadera media $\mu$. 💡 **Tip:** En inferencia clásica, la probabilidad se asigna al *método* o al *intervalo*, no al parámetro poblacional $\mu$ una vez que los datos ya han sido tomados. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{No, la probabilidad se refiere al intervalo, no al valor puntual de } \mu}$$