Continuidad y representación de funciones a trozos

**a) Halla el valor de $t$ para que f sea continua en $x = -2$. (0.5 ptos)** Para que la función $f(x)$ sea continua en el punto de salto entre ramas $x = -2$, deben cumplirse tres condiciones: 1. Que exista el valor de la función en el punto: $f(-2)$. 2. Que exista el límite de la función cuando $x$ tiende a $-2$. Para ello, los límites laterales deben ser iguales: $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x)$. 3. Que el valor del límite coincida con el valor de la función: $\lim_{x \to -2} f(x) = f(-2)$. 💡 **Tip:** En las funciones a trozos, la continuidad se garantiza igualando el valor de las ramas que confluyen en el punto de división.

Calculamos cada elemento por separado utilizando las ramas correspondientes: 1. **Valor de la función y límite por la izquierda** ($x \le -2$): Usamos la primera rama $f(x) = (x + 4)^2 - 4$. $$f(-2) = (-2 + 4)^2 - 4 = (2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0.$$ $$\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^-} ((x + 4)^2 - 4) = 0.$$ 2. **Límite por la derecha** ($-2 \lt x \lt 2$): Usamos la segunda rama $f(x) = t$. $$\lim_{x \to -2^+} f(x) = \lim_{x \to -2^+} t = t.$$ Para que sea continua, igualamos ambos resultados: $$0 = t$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{t = 0}$$

**b) Para $t = 3$, representa gráficamente la función $f$. (1 pto)** Con $t = 3$, la función queda definida como: $$f(x) = \begin{cases} (x + 4)^2 - 4 & \text{si } x \le -2 \\ 3 & \text{si } -2 < x < 2 \\ (x - 4)^2 - 4 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$$ Analicemos cada tramo: 1. **Rama 1 ($x \le -2$):** Es una parábola convexa (forma de U) con vértice en $(-4, -4)$. Pasa por los puntos $(-6, 0)$ y finaliza en $(-2, 0)$. 2. **Rama 2 ($-2 \lt x \lt 2$):** Es una función constante $y = 3$. Se representa como un segmento horizontal entre $x = -2$ y $x = 2$. Nota que hay saltos en los extremos porque $f(-2)=0$ y $f(2)=0$. 3. **Rama 3 ($x \ge 2$):** Es otra parábola convexa con vértice en $(4, -4)$. Empieza en el punto $(2, 0)$ y pasa por $(6, 0)$. 💡 **Tip:** Recuerda que $(x-h)^2 + k$ es una parábola con vértice en $(h, k)$.

A continuación se muestra la representación gráfica de la función. Se puede observar que al ser $t=3$ y no $t=0$, la función presenta **discontinuidades de salto finito** en $x = -2$ y $x = 2$.