Cálculo de parámetros de una función cúbica

Para hallar los parámetros $a, b$ y $c$, debemos traducir la información del enunciado en ecuaciones matemáticas. Disponemos de tres datos clave sobre la función $f(x) = ax^3 + bx^2 + 16x + c$: 1. **El punto (1, 10) pertenece a la gráfica:** Esto significa que cuando $x = 1$, el valor de la función es $y = 10$. Por tanto: $$f(1) = 10$$ 2. **Hay un punto de inflexión en $x = 1$:** En los puntos de inflexión de una función polinómica, la segunda derivada se anula. Por tanto: $$f''(1) = 0$$ 3. **La pendiente de la recta tangente en $x = 1$ es 7:** La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto coincide con el valor de la derivada en ese punto. Por tanto: $$f'(1) = 7$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un punto $(x_0, y_0)$ te da siempre la información $f(x_0) = y_0$. Si además es un punto singular (máximo, mínimo o inflexión) o nos dan la pendiente, usaremos las derivadas.

Calculamos la primera y segunda derivada de la función $f(x) = ax^3 + bx^2 + 16x + c$: **Primera derivada (pendiente):** $$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + 16$$ **Segunda derivada (curvatura/inflexión):** $$f''(x) = 6ax + 2b$$ 💡 **Tip:** Para derivar un término del tipo $kx^n$, la regla es $k \cdot n \cdot x^{n-1}$.

Sustituimos $x = 1$ en la función y en sus derivadas según las condiciones del paso 1: 1. **De $f(1) = 10$:** $$a(1)^3 + b(1)^2 + 16(1) + c = 10 \implies a + b + 16 + c = 10 \implies a + b + c = -6$$ 2. **De $f'(1) = 7$:** $$3a(1)^2 + 2b(1) + 16 = 7 \implies 3a + 2b + 16 = 7 \implies 3a + 2b = -9$$ 3. **De $f''(1) = 0$:** $$6a(1) + 2b = 0 \implies 6a + 2b = 0$$ Tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: $$\begin{cases} a + b + c = -6 \quad (1) \\ 3a + 2b = -9 \quad (2) \\ 6a + 2b = 0 \quad (3) \end{cases}$$

Podemos resolver el sistema empezando por las ecuaciones (2) y (3), ya que solo tienen las incógnitas $a$ y $b$. Restamos la ecuación (2) a la ecuación (3): $$(6a + 2b) - (3a + 2b) = 0 - (-9)$$ $$3a = 9 \implies \mathbf{a = 3}$$ Ahora sustituimos $a = 3$ en la ecuación (3) para hallar $b$: $$6(3) + 2b = 0 \implies 18 + 2b = 0 \implies 2b = -18 \implies \mathbf{b = -9}$$ Finalmente, sustituimos $a$ y $b$ en la ecuación (1) para hallar $c$: $$3 + (-9) + c = -6$$ $$-6 + c = -6 \implies \mathbf{c = 0}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 3, \quad b = -9, \quad c = 0}$$ La función resultante es $f(x) = 3x^3 - 9x^2 + 16x$.