Venta de botas en una artesanía

**a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántas botas de cada tipo se vendieron. (1 ptos)** En primer lugar, definimos las incógnitas del problema basándonos en lo que nos pide el enunciado: - $x$: número de pares de botines vendidos. - $y$: número de pares de botas de media caña vendidos. - $z$: número de pares de botas de caña alta vendidos. Ahora, traducimos la información del enunciado a ecuaciones matemáticas: 1. **Ventas totales:** El artesano obtiene 5500 euros vendiendo los botines a 150 €, las de media caña a 200 € y las de caña alta a 250 €: $$150x + 200y + 250z = 5500$$ 2. **Diferencia de tipos:** La diferencia entre botines ($x$) y botas de caña alta ($z$) equivale a las de caña media ($y$): $$x - z = y \implies x - y - z = 0$$ 3. **Relación entre tipos:** Las botas de caña alta ($z$) son la tercera parte de los botines ($x$): $$z = \frac{1}{3}x \implies x = 3z \implies x - 3z = 0$$ El sistema de ecuaciones lineales resultante es: $$\begin{cases} 150x + 200y + 250z = 5500 \\ x - y - z = 0 \\ x - 3z = 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable simplificar las ecuaciones si es posible. En la primera ecuación, podemos dividir todos los términos por 50 para trabajar con números más pequeños: $$3x + 4y + 5z = 110$$ ✅ **Resultado (sistema planteado):** $$\boxed{\begin{cases} 3x + 4y + 5z = 110 \\ x - y - z = 0 \\ x - 3z = 0 \end{cases}}$$

**b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 ptos)** Dado que tenemos una relación directa en la tercera ecuación ($x = 3z$), el método de sustitución es el más rápido. 1. De la tercera ecuación, sabemos que **$x = 3z$**. 2. Sustituimos este valor de $x$ en la segunda ecuación para hallar $y$ en función de $z$: $$(3z) - y - z = 0$$ $$2z - y = 0 \implies y = 2z$$ 3. Ahora sustituimos $x = 3z$ e $y = 2z$ en la primera ecuación simplificada ($3x + 4y + 5z = 110$): $$3(3z) + 4(2z) + 5z = 110$$ $$9z + 8z + 5z = 110$$ $$22z = 110$$ $$z = \frac{110}{22} = 5$$ 💡 **Tip:** Si el sistema representa objetos físicos (como botas), los resultados deben ser números enteros y positivos. Si obtienes decimales o negativos, revisa el planteamiento.

Una vez hallado el valor de $z$, calculamos los valores de $x$ e $y$ sustituyendo en las expresiones obtenidas anteriormente: - Para los botines ($x$): $$x = 3z = 3 \cdot 5 = 15$$ - Para las botas de media caña ($y$): $$y = 2z = 2 \cdot 5 = 10$$ Por tanto, se han vendido **15 botines**, **10 botas de media caña** y **5 botas de caña alta**. Comprobamos el total de dinero para asegurar que es correcto: $150(15) + 200(10) + 250(5) = 2250 + 2000 + 1250 = 5500$ €. ¡Es correcto! ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 15, \; y = 10, \; z = 5}$$