Optimización lineal con restricciones

**a) Dibuja la región factible. (1 punto)** Para representar la región factible, primero transformamos las inecuaciones en igualdades para obtener las rectas que delimitan el recinto: 1. **$r_1: x + y = 2$**. Pasa por los puntos $(0, 2)$ y $(2, 0)$. Tomando el origen $(0,0)$, vemos que $0+0 \ge 2$ es falso, por lo que la región solución está en el semiplano que no contiene al origen. 2. **$r_2: x - y = 2$**. Pasa por los puntos $(2, 0)$ y $(0, -2)$. Tomando el origen $(0,0)$, vemos que $0-0 \le 2$ es verdadero, por lo que la región solución está en el semiplano que contiene al origen. 3. **$r_3: y = 1$**. Es una recta horizontal que pasa por $y=1$. La restricción $y \le 1$ indica la región inferior. 4. **$r_4: x = 0$**. Es el eje de ordenadas. La restricción $x \ge 0$ indica la región a la derecha del eje. La intersección de todos estos semiplanos determina el recinto o región factible. 💡 **Tip:** Para sombrear correctamente, elige un punto de prueba (como el $(0,0)$ si no pasa por la recta) y comprueba si satisface la desigualdad. Si la cumple, sombrea ese lado; si no, el contrario.

**b) Determina los vértices de la región factible. (0.25 ptos)** Los vértices son los puntos de intersección de las rectas que delimitan la región factible: - **Vértice A:** Intersección de $x + y = 2$ y $y = 1$. Sustituyendo $y = 1$ en la primera ecuación: $$x + 1 = 2 \implies x = 1 \implies \mathbf{A(1, 1)}$$ - **Vértice B:** Intersección de $x - y = 2$ y $y = 1$. Sustituyendo $y = 1$ en la ecuación: $$x - 1 = 2 \implies x = 3 \implies \mathbf{B(3, 1)}$$ - **Vértice C:** Intersección de $x + y = 2$ y $x - y = 2$. Resolvemos el sistema por reducción sumando ambas ecuaciones: $$(x + y) + (x - y) = 2 + 2 \implies 2x = 4 \implies x = 2$$ Sustituyendo $x = 2$ en $x + y = 2$: $$2 + y = 2 \implies y = 0 \implies \mathbf{C(2, 0)}$$ ✅ **Vértices del recinto:** $$\boxed{A(1, 1), \quad B(3, 1), \quad C(2, 0)}$$

**c) Indica el máximo y el mínimo y sus respectivos valores. (0.25 ptos)** Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = 6x - 2y$ en cada uno de los vértices calculados para encontrar los valores extremos: 1. Para $A(1, 1)$: $$f(1, 1) = 6(1) - 2(1) = 6 - 2 = 4$$ 2. Para $B(3, 1)$: $$f(3, 1) = 6(3) - 2(1) = 18 - 2 = 16$$ 3. Para $C(2, 0)$: $$f(2, 0) = 6(2) - 2(0) = 12 - 0 = 12$$ Comparando los resultados: - El valor máximo es **16** y se encuentra en el punto **(3, 1)**. - El valor mínimo es **4** y se encuentra en el punto **(1, 1)**. 💡 **Tip:** Según el teorema fundamental de la programación lineal, si la región factible es acotada (cerrada), la función objetivo alcanza siempre su máximo y su mínimo en alguno de sus vértices. ✅ **Solución final:** $$\boxed{\text{Máximo: } 16 \text{ en } (3, 1); \quad \text{Mínimo: } 4 \text{ en } (1, 1)}$$