Probabilidad de ver la tele y jugar a la consola

**a) Se elige un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que vea la tele todos los días y juegue a la consola todos los días? (0.75 ptos)** Primero definimos los sucesos principales a partir de los datos del enunciado: - $T$: El alumno ve la tele todos los días. - $C$: El alumno juega a la consola todos los días. Los datos en términos de probabilidad son: - $P(T) = 15\% = 0,15$ - $P(C) = 25\% = 0,25$ - $P(T \cup C) = 26\% = 0,26$ (Probabilidad de la unión: ve la tele o juega a la consola). Podemos organizar la información en una **tabla de contingencia** (aunque para el apartado a bastará con la fórmula de la unión), completando los huecos una vez hallemos la intersección: $$\begin{array}{c|c|c|c} & \text{Consola (C)} & \text{No Consola (\bar{C})} & \text{Total} \\\hline \text{Tele (T)} & P(T \cap C) & P(T \cap \bar{C}) & 0,15 \\\hline \text{No Tele (\bar{T})} & P(\bar{T} \cap C) & P(\bar{T} \cap \bar{C}) & 0,85 \\\hline \text{Total} & 0,25 & 0,75 & 1,00 \end{array}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Esta fórmula es fundamental para relacionar la unión y la intersección.

Para resolver el apartado **a)**, necesitamos calcular la probabilidad de que ocurran ambos sucesos a la vez, es decir, la intersección $P(T \cap C)$. Utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión: $$P(T \cup C) = P(T) + P(C) - P(T \cap C)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$0,26 = 0,15 + 0,25 - P(T \cap C)$$ $$0,26 = 0,40 - P(T \cap C)$$ Despejamos la intersección: $$P(T \cap C) = 0,40 - 0,26 = 0,14$$ Esto significa que un **14%** de los alumnos realizan ambas actividades diariamente. ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{P(T \cap C) = 0,14}$$

**b) Si elegimos un alumno al azar y juega todos los días a la consola, ¿cuál es la probabilidad de que vea todos los días la televisión? (0.75 ptos)** En este apartado se nos pide una **probabilidad condicionada**. Sabemos de antemano que el alumno ya juega a la consola (suceso $C$), y queremos saber la probabilidad de que también vea la tele (suceso $T$). Esto se denota como $P(T|C)$. La fórmula de la probabilidad condicionada es: $$P(T|C) = \frac{P(T \cap C)}{P(C)}$$ Sustituimos los datos obtenidos anteriormente: - $P(T \cap C) = 0,14$ - $P(C) = 0,25$ Calculamos el valor: $$P(T|C) = \frac{0,14}{0,25} = 0,56$$ 💡 **Tip:** La probabilidad condicionada $P(A|B)$ siempre reduce el espacio muestral al suceso que sabemos que ha ocurrido (en este caso, el grupo de los que juegan a la consola). ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{P(T|C) = 0,56}$$