Inferencia estadística: Intervalo de confianza para la media

**a) Halla el intervalo de confianza para el número medio de horas de duración de la batería con un nivel de confianza del 97 %. (1 pto)** Primero, extraemos los datos del enunciado para la variable $X$ (horas de duración): - Tamaño de la muestra: $n = 10$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 2.1$ horas - Distribución: $X \sim N(\mu, 2.1)$ Calculamos la media muestral $\bar{x}$ sumando todos los valores de la muestra y dividiendo entre el total: $$\bar{x} = \frac{4.2 + 4.6 + 5 + 5.7 + 5.8 + 5.9 + 6.1 + 6.2 + 6.5 + 7.3}{10}$$ $$\bar{x} = \frac{57.3}{10} = 5.73$$ 💡 **Tip:** En inferencia sobre la media con $\sigma$ conocida, siempre trabajamos con la distribución de la media muestral: $\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$.

Para un nivel de confianza del $97\%$, tenemos que: $$1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 0.03$$ Dividimos el nivel de significación $\alpha$ en dos colas: $$\frac{\alpha}{2} = \frac{0.03}{2} = 0.015$$ Buscamos en la tabla de la normal estándar $N(0,1)$ el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985$$ Mirando en la tabla, el valor exacto para $0.985$ es: $$z_{\alpha/2} = 2.17$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $z_{\alpha/2}$ es el valor que deja a su derecha un área de $\alpha/2$ y a su izquierda un área de $1 - \alpha/2$.

La fórmula del error máximo admisible es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 2.17 \cdot \frac{2.1}{\sqrt{10}} \approx 2.17 \cdot \frac{2.1}{3.1623} \approx 2.17 \cdot 0.6641 \approx 1.441$$ El intervalo de confianza se define como $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$I.C. = (5.73 - 1.441, \; 5.73 + 1.441)$$ $$I.C. = (4.289, \; 7.171)$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C._{97\%} = (4.289, \; 7.171)}$$

**b) Explica razonadamente cómo podríamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza. (0.5 ptos)** La amplitud $A$ de un intervalo de confianza es el doble del error: $$A = 2 \cdot E = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Para que $A$ sea menor, podemos actuar sobre dos factores: 1. **Aumentar el tamaño de la muestra ($n$):** Al estar en el denominador de la fracción, un valor de $n$ más grande hará que el error disminuya (manteniendo el resto constante). 2. **Disminuir el nivel de confianza ($1-\alpha$):** Si bajamos la confianza, el valor crítico $z_{\alpha/2}$ será menor, lo que reducirá directamente el valor de la amplitud. 💡 **Tip:** La desviación típica $\sigma$ suele ser un parámetro poblacional fijo que no podemos modificar, por lo que las estrategias reales pasan siempre por el tamaño de la muestra o el riesgo que estemos dispuestos a asumir.

**c) ¿Crees que la media poblacional $\mu$ del número de horas es de 4 horas con una probabilidad del 90 %? Razona tu respuesta. (0.5 ptos)** Primero, calculamos el nuevo intervalo de confianza al $90\%$. Para este nivel: $$1 - \alpha = 0.90 \implies P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.95 \implies z_{\alpha/2} = 1.645$$ El nuevo error será: $$E_{90} = 1.645 \cdot \frac{2.1}{\sqrt{10}} \approx 1.645 \cdot 0.6641 \approx 1.092$$ El intervalo al $90\%$ es: $$I.C._{90\%} = (5.73 - 1.092, \; 5.73 + 1.092) = (4.638, \; 6.822)$$ Como el valor propuesto $\mu = 4$ **no pertenece** al intervalo $(4.638, 6.822)$, no podemos aceptar que la media sea de 4 horas con ese nivel de confianza. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No, porque el valor 4 está fuera del intervalo de confianza del 90\%}}$$