Continuidad y extremos de una función a trozos

**a) ¿Para qué valor de $t$ la función $f(x)$ es continua en $x = -1$? (0.75 ptos)** Para que la función sea continua en $x = -1$, deben coincidir el valor de la función en ese punto y los límites laterales. Es decir: $$f(-1) = \lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^+} f(x)$$ 1. **Valor de la función y límite por la izquierda ($x \le -1$):** Usamos la primera rama $f(x) = x + t$: $$f(-1) = -1 + t$$ $$\lim_{x \to -1^-} (x + t) = -1 + t$$ 2. **Límite por la derecha ($x \gt -1$):** Usamos la segunda rama $f(x) = x^3 - 2x^2 + 4$: $$\lim_{x \to -1^+} (x^3 - 2x^2 + 4) = (-1)^3 - 2(-1)^2 + 4 = -1 - 2(1) + 4 = -3 + 4 = 1$$ Para que exista continuidad, igualamos ambos resultados: $$-1 + t = 1 \implies t = 1 + 1 = 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una función definida a trozos es continua en un punto de separación si el "salto" entre las ramas es cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{t = 2}$$

**b) Calcula los extremos relativos de la función $f(x)$ en el intervalo $(-1, +\infty)$. (0.5 ptos)** En el intervalo $(-1, +\infty)$, la función viene definida por la expresión polinómica: $$f(x) = x^3 - 2x^2 + 4$$ Para hallar los extremos relativos, primero calculamos la derivada y buscamos sus raíces (puntos críticos): $$f'(x) = (x^3)' - (2x^2)' + (4)' = 3x^2 - 4x$$ Igualamos la derivada a cero: $$3x^2 - 4x = 0 \implies x(3x - 4) = 0$$ Esto nos da dos posibles soluciones: 1. $x = 0$ 2. $3x = 4 \implies x = \frac{4}{3} \approx 1.33$ Ambos valores, $x = 0$ y $x = \frac{4}{3}$, pertenecen al intervalo $(-1, +\infty)$, por lo que ambos son candidatos a ser extremos relativos. 💡 **Tip:** Los extremos relativos solo pueden aparecer en puntos donde la derivada es cero (puntos críticos) o donde la función no es derivable.

**c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$ en $(-1, +\infty)$. (0.5 ptos)** Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, estudiamos el signo de la derivada $f'(x) = 3x^2 - 4x$ en el intervalo $(-1, +\infty)$, utilizando los puntos críticos hallados: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-1, 0) & 0 & (0, 4/3) & 4/3 & (4/3, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - En $(-1, 0)$, tomamos $x = -0.5$: $f'(-0.5) = 3(0.25) - 4(-0.5) = 0.75 + 2 = 2.75 > 0$ (**Creciente**). - En $(0, 4/3)$, tomamos $x = 1$: $f'(1) = 3(1)^2 - 4(1) = 3 - 4 = -1 < 0$ (**Decreciente**). - En $(4/3, +\infty)$, tomamos $x = 2$: $f'(2) = 3(4) - 4(2) = 12 - 8 = 4 > 0$ (**Creciente**). ✅ **Resultado (Intervalos):** $$\boxed{\text{Creciente: } (-1, 0) \cup (4/3, +\infty) \quad \text{Decreciente: } (0, 4/3)}$$

A partir del estudio de la monotonía realizado en el paso anterior, podemos concluir la naturaleza de los extremos: 1. En $x = 0$, la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **Máximo Relativo**. Calculamos su ordenada: $f(0) = 0^3 - 2(0)^2 + 4 = 4$. Punto: $(0, 4)$. 2. En $x = \frac{4}{3}$, la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **Mínimo Relativo**. Calculamos su ordenada: $$f\left(\frac{4}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}\right)^3 - 2\left(\frac{4}{3}\right)^2 + 4 = \frac{64}{27} - 2\left(\frac{16}{9}\right) + 4 = \frac{64}{27} - \frac{32}{9} + 4$$ Obtenemos denominador común $27$: $$f\left(\frac{4}{3}\right) = \frac{64 - 96 + 108}{27} = \frac{76}{27} \approx 2.81$$ Punto: $\left(\frac{4}{3}, \frac{76}{27}\right)$. ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (0, 4) \text{ y Mínimo relativo en } \left(\frac{4}{3}, \frac{76}{27}\right)}$$