Estudio de ventas de botellas de agua

**a) ¿En que intervalos de tiempo las ventas aumentan? ¿Y en cuáles disminuye? (0.5 ptos)** Para estudiar el aumento y disminución (monotonía) de las ventas, debemos calcular la derivada de la función $C(t)$ e igualarla a cero para encontrar los puntos críticos. La función es: $C(t) = 2t^3 - 27t^2 + 120t$. Calculamos la derivada $C'(t)$: $$C'(t) = 6t^2 - 54t + 120$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$6t^2 - 54t + 120 = 0$$ Podemos simplificar la ecuación dividiendo todo entre $6$: $$t^2 - 9t + 20 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$t = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2} = \frac{9 \pm 1}{2}$$ Obtenemos dos valores: $$t_1 = \frac{9 + 1}{2} = 5, \quad t_2 = \frac{9 - 1}{2} = 4$$ Como el dominio es $1 \le t \le 6$, ambos puntos están dentro del intervalo de estudio. 💡 **Tip:** Los intervalos de crecimiento y decrecimiento se determinan por el signo de la primera derivada $f'(x)$. Si $f'(x) \gt 0$, la función aumenta; si $f'(x) \lt 0$, la función disminuye.

Dividimos el dominio $[1, 6]$ en intervalos usando los puntos críticos $t=4$ y $t=5$ para analizar el signo de $C'(t)$: $$\begin{array}{c|ccccc} t & (1, 4) & 4 & (4, 5) & 5 & (5, 6)\\\hline C'(t) & + & 0 & - & 0 & +\\ \hline C(t) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - En $(1, 4)$, elegimos $t=2$: $C'(2) = 6(2)^2 - 54(2) + 120 = 24 - 108 + 120 = 36 \gt 0$ (**Aumenta**). - En $(4, 5)$, elegimos $t=4.5$: $C'(4.5) = 6(4.5)^2 - 54(4.5) + 120 = 121.5 - 243 + 120 = -1.5 \lt 0$ (**Disminuye**). - En $(5, 6)$, elegimos $t=5.5$: $C'(5.5) = 6(5.5)^2 - 54(5.5) + 120 = 181.5 - 297 + 120 = 4.5 \gt 0$ (**Aumenta**). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Aumenta en } [1, 4) \cup (5, 6] \text{ y disminuye en } (4, 5)}$$

**b) ¿Cuándo se produce la máxima venta? ¿Y la mínima? (0.75 ptos)** Para hallar los extremos absolutos en un intervalo cerrado $[1, 6]$, debemos comparar el valor de la función en los extremos del intervalo y en los puntos críticos donde la derivada es cero. Calculamos los valores de $C(t)$: 1. **Extremo inferior ($t=1$):** $C(1) = 2(1)^3 - 27(1)^2 + 120(1) = 2 - 27 + 120 = 95$ 2. **Punto crítico ($t=4$):** $C(4) = 2(4)^3 - 27(4)^2 + 120(4) = 2(64) - 27(16) + 480 = 128 - 432 + 480 = 176$ 3. **Punto crítico ($t=5$):** $C(5) = 2(5)^3 - 27(5)^2 + 120(5) = 2(125) - 27(25) + 600 = 250 - 675 + 600 = 175$ 4. **Extremo superior ($t=6$):** $C(6) = 2(6)^3 - 27(6)^2 + 120(6) = 2(216) - 27(36) + 720 = 432 - 972 + 720 = 180$ Comparando los valores: $95, 176, 175$ y $180$. - El valor máximo es **180** y ocurre en **$t=6$**. - El valor mínimo es **95** y ocurre en **$t=1$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máxima venta en } t=6 \text{ (a las 4 de la tarde), mínima venta en } t=1 \text{ (a las 11 de la mañana)}}$$

**c) ¿Cuántas botellas se venden en esos dos casos? (0.5 ptos)** El enunciado indica que $C(t)$ se mide en **cientos de botellas**. Por tanto, debemos multiplicar los valores obtenidos en el apartado anterior por 100. - **Para la máxima venta ($t=6$):** $$C(6) = 180 \text{ cientos de botellas} = 180 \times 100 = 18.000 \text{ botellas}$$ - **Para la mínima venta ($t=1$):** $$C(1) = 95 \text{ cientos de botellas} = 95 \times 100 = 9.500 \text{ botellas}$$ 💡 **Tip:** Presta siempre atención a las unidades del enunciado. En este caso, el resultado de la función debe reescalarse para dar la respuesta final en unidades individuales. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máxima: } 18.000 \text{ botellas; Mínima: } 9.500 \text{ botellas}}$$