Álgebra 2020 Castilla la Mancha
Problema de sistemas de ecuaciones: paquetes de tortitas
5. Una marca ofrece paquetes de tortitas de arroz de tres tipos: con espelta, con amapola y con chía. Se venden el triple de paquetes de las de amapola que de las de espelta. Se venden 40 paquetes más de las de amapola que de las de chía. Los precios de los paquetes para espelta, amapola y chía son respectivamente 2.50, 3.50 y 3 euros obteniendo por la venta de todas las tortitas 1640 euros.
a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántos paquetes de cada tipo se vendieron. (1.5 ptos)
b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 ptos)
Paso 1
Definición de variables y planteamiento del sistema
**a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántos paquetes de cada tipo se vendieron. (1.5 ptos)**
En primer lugar, definimos las variables que representan las incógnitas del problema:
- $x$: número de paquetes de tortitas de **espelta**.
- $y$: número de paquetes de tortitas de **amapola**.
- $z$: número de paquetes de tortitas de **chía**.
A continuación, traducimos el enunciado a lenguaje algebraico:
1. "Se venden el triple de paquetes de las de amapola que de las de espelta":
$$y = 3x$$
2. "Se venden 40 paquetes más de las de amapola que de las de chía":
$$y = z + 40$$
3. "Los precios [...] son respectivamente 2.50, 3.50 y 3 euros obteniendo [...] 1640 euros":
$$2.50x + 3.50y + 3z = 1640$$
💡 **Tip:** Para no equivocarte en la relación de "el triple" o "más que", piensa quién es la cantidad mayor. Si se venden más de amapola ($y$) que de espelta ($x$), para igualarlas debes multiplicar la pequeña por 3.
El sistema de ecuaciones resultante es:
$$\boxed{\begin{cases} y = 3x \\ y = z + 40 \\ 2.5x + 3.5y + 3z = 1640 \end{cases}}$$
Paso 2
Preparación del sistema para la resolución
**b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 ptos)**
Dado que tenemos dos de las variables ($x$ y $z$) fácilmente expresables en función de $y$, utilizaremos el **método de sustitución**.
De la primera ecuación despejamos $x$:
$$x = \frac{y}{3}$$
De la segunda ecuación despejamos $z$:
$$z = y - 40$$
Ahora sustituimos estas dos expresiones en la tercera ecuación:
$$2.5\left(\frac{y}{3}\right) + 3.5y + 3(y - 40) = 1640$$
Paso 3
Resolución de la ecuación de primer grado
Resolvemos la ecuación para hallar el valor de $y$:
1. Quitamos el paréntesis:
$$\frac{2.5y}{3} + 3.5y + 3y - 120 = 1640$$
2. Agrupamos términos y pasamos los números al otro lado:
$$\frac{2.5y}{3} + 6.5y = 1640 + 120$$
$$\frac{2.5y}{3} + 6.5y = 1760$$
3. Multiplicamos toda la ecuación por 3 para eliminar el denominador:
$$2.5y + 3 \cdot (6.5y) = 3 \cdot 1760$$
$$2.5y + 19.5y = 5280$$
4. Sumamos y despejamos $y$:
$$22y = 5280$$
$$y = \frac{5280}{22} = 240$$
Se vendieron **240 paquetes de amapola**.
Paso 4
Cálculo de las incógnitas restantes y solución final
Una vez conocido el valor de $y = 240$, calculamos $x$ y $z$ sustituyendo en las expresiones del paso 2:
Para $x$ (espelta):
$$x = \frac{y}{3} = \frac{240}{3} = 80$$
Para $z$ (chía):
$$z = y - 40 = 240 - 40 = 200$$
💡 **Tip:** Siempre es recomendable comprobar los resultados sustituyendo en la ecuación del dinero: $2.5(80) + 3.5(240) + 3(200) = 200 + 840 + 600 = 1640$. ¡Es correcto!
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{\text{Se vendieron 80 paquetes de espelta, 240 de amapola y 200 de chía}}$$