Operaciones Matriciales y Ecuación de Matrices

**a) Calcula $M = AC - (B - I)^T$ siendo $I$ la matriz identidad de orden 2. (0.75 ptos)** Primero calculamos el producto de las matrices $A$ (de dimensión $2 \times 3$) y $C$ (de dimensión $3 \times 2$). El resultado será una matriz de dimensión $2 \times 2$. $$AC = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 6 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ -4 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Fila 1 por columna 1: $3(5) + 2(-4) + 0(0) = 15 - 8 = 7$ - Fila 1 por columna 2: $3(0) + 2(1) + 0(-1) = 0 + 2 + 0 = 2$ - Fila 2 por columna 1: $6(5) + 1(-4) + 0(0) = 30 - 4 = 26$ - Fila 2 por columna 2: $6(0) + 1(1) + 0(-1) = 0 + 1 + 0 = 1$ $$AC = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 26 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para poder multiplicar matrices, el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda. Aquí, $A$ es $2 \times 3$ y $C$ es $3 \times 2$, por lo que el resultado es $2 \times 2$.

A continuación, calculamos la matriz $(B - I)^T$. Sabemos que $I$ es la matriz identidad de orden 2: $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Primero calculamos la resta $B - I$: $$B - I = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 - 1 & 2 - 0 \\ 0 - 0 & 2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora hallamos su traspuesta intercambiando filas por columnas: $$(B - I)^T = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La matriz identidad $I$ siempre tiene unos en la diagonal principal y ceros en el resto. La operación traspuesta consiste en convertir la primera fila en la primera columna y la segunda fila en la segunda columna.

Finalmente, restamos los resultados obtenidos para hallar $M$: $$M = AC - (B - I)^T = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 26 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ $$M = \begin{pmatrix} 7 - (-3) & 2 - 0 \\ 26 - 2 & 1 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 2 \\ 24 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final apartado a):** $$\boxed{M = \begin{pmatrix} 10 & 2 \\ 24 & 0 \end{pmatrix}}$$

**b) Calcula, si es posible, la matriz X tal que $X \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \end{pmatrix}$. (0.75 ptos)** Sea $D = \begin{pmatrix} 2 & 4 \end{pmatrix}$. Tenemos la ecuación $X \cdot B = D$. Para que la multiplicación sea posible, si $B$ es $2 \times 2$ y $D$ es $1 \times 2$, la matriz $X$ debe ser de dimensión $1 \times 2$. Sea $X = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}$. Podemos resolverlo de dos formas: despejando $X = D \cdot B^{-1}$ o planteando un sistema de ecuaciones. Comprobamos si $B$ es invertible calculando su determinante: $$|B| = \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = (-2)(2) - (0)(2) = -4$$ Como $|B| \neq 0$, la matriz **$B$ tiene inversa** y podemos resolver la ecuación. 💡 **Tip:** Si el determinante fuera 0, no podríamos usar la matriz inversa y tendríamos que comprobar si el sistema planteado tiene o no solución.

Calculamos $B^{-1}$ usando la fórmula $B^{-1} = \frac{1}{|B|} \text{Adj}(B)^T$: 1. Matriz de adjuntos: - $\text{Adj}(B)_{11} = 2$ - $\text{Adj}(B)_{12} = -(0) = 0$ - $\text{Adj}(B)_{21} = -(2) = -2$ - $\text{Adj}(B)_{22} = -2$ $$\text{Adj}(B) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}$$ 2. Traspuesta de la adjunta: $$\text{Adj}(B)^T = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$$ 3. Inversa: $$B^{-1} = \frac{1}{-4} \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2/4 & 2/4 \\ 0 & 2/4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/2 & 1/2 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para una matriz $2 \times 2$ $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, la inversa es $\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

Despejamos $X$ multiplicando por la derecha por $B^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} 2 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1/2 & 1/2 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix}$$ Realizamos la multiplicación: - Elemento $1,1$: $2(-1/2) + 4(0) = -1 + 0 = -1$ - Elemento $1,2$: $2(1/2) + 4(1/2) = 1 + 2 = 3$ $$X = \begin{pmatrix} -1 & 3 \end{pmatrix}$$ *Nota: También se podría haber resuelto planteando el sistema:* $$\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \end{pmatrix} \implies \begin{cases} -2x = 2 \\ 2x + 2y = 4 \end{cases}$$ De la primera ecuación $x = -1$, y sustituyendo en la segunda: $2(-1) + 2y = 4 \implies 2y = 6 \implies y = 3$. ✅ **Resultado final apartado b):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -1 & 3 \end{pmatrix}}$$