Probabilidad y Estadística 2020 Castilla la Mancha
Probabilidad de problemas financieros y casas de apuestas
5. En una ciudad el 1 % de los habitantes ha ido a jugar alguna vez a una casa de apuestas. De las personas que han ido a jugar alguna vez a una casa de apuestas, el 70 % tiene problemas financieros. De los habitantes que no han ido a jugar alguna vez a una casa de apuestas, se sabe que un 5 % tiene problemas financieros.
a) Calcula la probabilidad de que elegido un habitante al azar tenga problemas financieros. (0.75 ptos)
b) Sabiendo que una persona tiene problemas financieros, ¿cuál es la probabilidad de que haya ido a jugar alguna vez a una casa de apuestas? (0.75 ptos)
Paso 1
Definición de sucesos y esquema del problema
Para resolver este problema, primero definimos los sucesos que intervienen:
- $G$: El habitante ha ido a jugar alguna vez a una casa de apuestas.
- $\overline{G}$: El habitante no ha ido a jugar nunca a una casa de apuestas.
- $F$: El habitante tiene problemas financieros.
- $\overline{F}$: El habitante no tiene problemas financieros.
Del enunciado extraemos las siguientes probabilidades:
- $P(G) = 1\% = 0,01$
- $P(\overline{G}) = 1 - 0,01 = 0,99$
- $P(F|G) = 70\% = 0,70$ (probabilidad de tener problemas financieros habiendo jugado)
- $P(F|\overline{G}) = 5\% = 0,05$ (probabilidad de tener problemas financieros sin haber jugado)
Representamos esta información en un **diagrama de árbol**:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de tener problemas financieros
**a) Calcula la probabilidad de que elegido un habitante al azar tenga problemas financieros. (0.75 ptos)**
Para calcular la probabilidad total de tener problemas financieros, $P(F)$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Este suceso puede ocurrir de dos formas: que la persona juegue y tenga problemas, o que no juegue y tenga problemas.
$$P(F) = P(G \cap F) + P(\overline{G} \cap F)$$
$$P(F) = P(G) \cdot P(F|G) + P(\overline{G}) \cdot P(F|\overline{G})$$
Sustituimos los valores obtenidos del diagrama:
$$P(F) = 0,01 \cdot 0,70 + 0,99 \cdot 0,05$$
$$P(F) = 0,007 + 0,0495$$
$$P(F) = 0,0565$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total suma todas las ramas del árbol que terminan en el suceso deseado (en este caso, $F$).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(F) = 0,0565}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Teorema de Bayes)
**b) Sabiendo que una persona tiene problemas financieros, ¿cuál es la probabilidad de que haya ido a jugar alguna vez a una casa de apuestas? (0.75 ptos)**
En este apartado nos piden una probabilidad a posteriori: sabiendo que se cumple el suceso $F$, cuál es la probabilidad de que provenga de la rama $G$. Para ello aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(G|F) = \frac{P(G \cap F)}{P(F)}$$
Ya tenemos los datos necesarios de los pasos anteriores:
- Probabilidad de la intersección (jugar y tener problemas): $P(G \cap F) = 0,01 \cdot 0,70 = 0,007$
- Probabilidad total de tener problemas: $P(F) = 0,0565$
Calculamos el cociente:
$$P(G|F) = \frac{0,007}{0,0565} \approx 0,12389$$
Redondeando a cuatro decimales, obtenemos **0,1239**.
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona la probabilidad de una "causa" (haber jugado) dado un "efecto" observado (tener problemas financieros).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(G|F) \approx 0,1239}$$