Intervalo de confianza y tamaño muestral para la media

**a) Halla un intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo de espera, con un nivel de confianza del 95 %. (1.25 ptos)** Primero, identificamos los parámetros conocidos de la población y los datos de la muestra: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 2$ - Tamaño de la muestra: $n = 10$ - Datos de la muestra: $x = \{5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16\}$ Calculamos la media muestral ($\bar{x}$): $$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 11 + 12 + 14 + 15 + 16}{10} = \frac{103}{10} = 10.3$$ 💡 **Tip:** La media muestral es el estimador puntual de la media poblacional $\mu$. Es fundamental sumarlos todos con cuidado. $$\boxed{\bar{x} = 10.3 \text{ minutos}}$$

Para un nivel de confianza del $95 \%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$. 1. Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$ 2. Nivel de significación: $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$ 3. Repartimos el error en dos colas: $\alpha/2 = 0.025$ 4. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$. Consultando la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$, observamos que para una probabilidad de $0.975$ el valor es: $$z_{\alpha/2} = 1.96$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para los niveles de confianza más habituales ($90\%, 95\%, 99\%$), los valores críticos son $1.645, 1.96$ y $2.575$ respectivamente. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.96}$$

La fórmula del error máximo admisible es $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Sustituimos los valores: $$E = 1.96 \cdot \frac{2}{\sqrt{10}} = 1.96 \cdot \frac{2}{3.1623} \approx 1.96 \cdot 0.6325 = 1.2397$$ El intervalo de confianza viene dado por $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: - Límite inferior: $10.3 - 1.2397 = 9.0603$ - Límite superior: $10.3 + 1.2397 = 11.5397$ 💡 **Tip:** El error es la mitad de la amplitud del intervalo. Cuanto mayor sea la muestra ($n$), menor será el error y más preciso el intervalo. ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{IC = (9.0603, 11.5397)}$$

**b) ¿Cuál deberá ser el tamaño mínimo de la muestra elegida para que, con el mismo nivel de confianza, el error máximo admisible sea menor que 1 minuto? (0.75 ptos)** Queremos que el error $E$ sea menor que $1$ minuto, manteniendo el nivel de confianza del $95 \%$, por lo que $z_{\alpha/2} = 1.96$. Planteamos la inecuación basada en la fórmula del error: $$z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \lt 1$$ Sustituimos los datos conocidos: $$1.96 \cdot \frac{2}{\sqrt{n}} \lt 1$$ 💡 **Tip:** En estos problemas siempre despejamos $n$. Al estar en el denominador dentro de una raíz, pasará multiplicando al otro lado y luego elevaremos al cuadrado.

Despejamos $n$ paso a paso: $$\frac{3.92}{\sqrt{n}} \lt 1$$ $$3.92 \lt \sqrt{n}$$ Elevamos ambos miembros al cuadrado para eliminar la raíz: $$3.92^2 \lt n$$ $$15.3664 \lt n$$ Como el tamaño de la muestra $n$ debe ser un número entero y buscamos el mínimo valor que cumpla la condición de que el error sea **menor** que 1, debemos redondear siempre al entero superior. $n = 16$ clientes. 💡 **Tip:** Aunque el decimal fuera bajo (ej. 15.1), siempre redondeamos hacia arriba para asegurar que el error sea inferior al límite marcado. ✅ **Resultado (Tamaño mínimo):** $$\boxed{n = 16 \text{ clientes}}$$