Probabilidad y Estadística 2020 Canarias
Probabilidad total y Teorema de Bayes en fabricación de vehículos
A1. Una multinacional dedicada a la fabricación de vehículos fabrica el 40% de sus vehículos en España, el 35% en Francia y el resto en Italia. Los vehículos fabricados son de tres modelos (Ancer, Beam y Celestial). En España se fabrican los tres modelos a partes iguales. En Francia dos terceras partes de los vehículos que se fabrican son del modelo Ancer y el resto son Beam. En Italia se fabrican los modelos Beam y Celestial a partes iguales.
a) Construye el diagrama de árbol de probabilidades.
b) Se elige un vehículo al azar de entre todos los producidos por la multinacional, ¿cuál es la probabilidad de que sea del modelo Beam?
c) Si poseyéramos un vehículo modelo Ancer, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en España?
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del diagrama de árbol
**a) Construye el diagrama de árbol de probabilidades.**
Primero, definimos los sucesos según el país de fabricación y el modelo del vehículo:
**Países:**
- $E$: Vehículo fabricado en España.
- $F$: Vehículo fabricado en Francia.
- $I$: Vehículo fabricado en Italia.
**Modelos:**
- $A$: Modelo Ancer.
- $B$: Modelo Beam.
- $C$: Modelo Celestial.
Calculamos la probabilidad de Italia sabiendo que el total debe ser el 100%:
$P(I) = 1 - P(E) - P(F) = 1 - 0,40 - 0,35 = 0,25$.
Las probabilidades condicionadas según el enunciado son:
- En España ($1/3$ cada uno): $P(A|E) = 1/3$, $P(B|E) = 1/3$, $P(C|E) = 1/3$.
- En Francia ($2/3$ Ancer, resto Beam): $P(A|F) = 2/3$, $P(B|F) = 1/3$, $P(C|F) = 0$.
- En Italia (Beam y Celestial iguales): $P(A|I) = 0$, $P(B|I) = 1/2$, $P(C|I) = 1/2$.
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades que salen de un mismo nodo siempre debe ser igual a 1.
Paso 2
Probabilidad de que el vehículo sea modelo Beam
**b) Se elige un vehículo al azar de entre todos los producidos por la multinacional, ¿cuál es la probabilidad de que sea del modelo Beam?**
Para calcular la probabilidad de que un vehículo sea del modelo $B$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, sumando las probabilidades de todas las ramas que terminan en el modelo $B$:
$$P(B) = P(E) \cdot P(B|E) + P(F) \cdot P(B|F) + P(I) \cdot P(B|I)$$
Sustituimos los valores obtenidos en el diagrama:
$$P(B) = 0,40 \cdot \frac{1}{3} + 0,35 \cdot \frac{1}{3} + 0,25 \cdot \frac{1}{2}$$
Realizamos las operaciones:
$$P(B) = \frac{0,40}{3} + \frac{0,35}{3} + 0,125$$
$$P(B) = \frac{0,75}{3} + 0,125 = 0,25 + 0,125 = 0,375$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando queremos hallar la probabilidad de un suceso final considerando todas las formas posibles en que puede ocurrir.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(B) = 0,375}$$
(O en fracción, $\frac{3}{8}$).
Paso 3
Probabilidad de que sea de España dado que es modelo Ancer
**c) Si poseyéramos un vehículo modelo Ancer, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en España?**
Nos piden una probabilidad condicionada a la inversa: $P(E|A)$. Utilizaremos el **Teorema de Bayes**:
$$P(E|A) = \frac{P(E \cap A)}{P(A)} = \frac{P(E) \cdot P(A|E)}{P(A)}$$
Primero, calculamos la probabilidad total de que el vehículo sea modelo Ancer ($P(A)$):
$$P(A) = P(E) \cdot P(A|E) + P(F) \cdot P(A|F) + P(I) \cdot P(A|I)$$
$$P(A) = 0,40 \cdot \frac{1}{3} + 0,35 \cdot \frac{2}{3} + 0,25 \cdot 0$$
$$P(A) = \frac{0,40}{3} + \frac{0,70}{3} = \frac{1,10}{3} \approx 0,3667$$
Ahora, aplicamos la fórmula de Bayes:
$$P(E|A) = \frac{0,40 \cdot (1/3)}{1,10/3}$$
Las fracciones de los denominadores se simplifican:
$$P(E|A) = \frac{0,40}{1,10} = \frac{4}{11} \approx 0,3636$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes permite calcular la probabilidad de una 'causa' (país) dado un 'efecto' observado (modelo).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(E|A) = \frac{4}{11} \approx 0,3636}$$