Intervalo de confianza y tamaño muestral para la media

**a) Calcular un intervalo de confianza al 90% para los ingresos medios mensuales.** Primero, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 400$ - Media muestral: $\bar{x} = 1250$ € - Desviación típica (asumimos la de la población): $\sigma = 210$ € - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,90$ Para calcular el intervalo de confianza, necesitamos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al 90%. Si $1 - \alpha = 0,90$, entonces $\alpha = 0,10$ y $\alpha/2 = 0,05$. Buscamos el valor de $z$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,05 = 0,95$$ Consultando la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$, observamos que para una probabilidad de $0,95$, el valor crítico es: $$z_{\alpha/2} = 1,645$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no aparece en la tabla (como ocurre con 0,95, que está entre 1,64 y 1,65), solemos tomar la media aritmética de ambos, que es 1,645. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1,645}$$

El intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ se calcula mediante la fórmula: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \, , \, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1,645 \cdot \frac{210}{\sqrt{400}} = 1,645 \cdot \frac{210}{20} = 1,645 \cdot 10,5 = 17,2725$$ Ahora aplicamos este error a la media muestral: - Límite inferior: $1250 - 17,2725 = 1232,7275$ - Límite superior: $1250 + 17,2725 = 1267,2725$ 💡 **Tip:** El error depende directamente de la desviación típica y del nivel de confianza, e inversamente de la raíz cuadrada del tamaño de la muestra. ✅ **Resultado (Intervalo al 90%):** $$\boxed{I.C. = (1232,73 \, , \, 1267,27)}$$

**b) ¿De qué tamaño debe ser la muestra si se desea estimar los ingresos medios mensuales con un error menor de 15 € y con una confianza del 95%?** En este apartado cambian las condiciones: - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,95 \implies \alpha = 0,05 \implies \alpha/2 = 0,025$ - Error máximo: $E \lt 15$ - Desviación típica: $\sigma = 210$ Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el 95%: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,025 = 0,975$$ Mirando en la tabla $N(0, 1)$: $$z_{\alpha/2} = 1,96$$ 💡 **Tip:** El valor $z = 1,96$ para el 95% es uno de los más utilizados en estadística, conviene recordarlo.

Para hallar el tamaño de la muestra $n$, partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los valores conocidos: $$n \gt \left( \frac{1,96 \cdot 210}{15} \right)^2$$ $$n \gt \left( \frac{411,6}{15} \right)^2 = (27,44)^2 = 752,9536$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **estrictamente menor** de 15 €, debemos redondear siempre al entero superior. 💡 **Tip:** Aunque el decimal sea pequeño, en el cálculo de tamaños muestrales siempre redondeamos hacia arriba para asegurar que el error sea inferior al máximo permitido. ✅ **Resultado (Tamaño de la muestra):** $$\boxed{n = 753 \text{ personas}}$$