Demanda de datos: análisis de función a trozos

**a) Representa gráficamente la función. ¿Hubo una demanda continua de datos a lo largo del día? En caso negativo, ¿a qué hora hubo un salto instantáneo de la demanda y cuál fue la magnitud del salto?** Para saber si la demanda fue continua, debemos estudiar la continuidad de la función $D(t)$ en el punto de unión de las dos ramas, es decir, en $t = 8$. Una función es continua en un punto si sus límites laterales coinciden con el valor de la función en dicho punto. 1. **Valor de la función en $t = 8$:** Usamos la primera rama (donde está el símbolo $\le$): $$D(8) = \frac{1}{10}(8)^2 - \frac{6}{5}(8) + 4 = \frac{64}{10} - \frac{48}{5} + 4 = 6.4 - 9.6 + 4 = 0.8$$ 2. **Límite por la izquierda ($t \to 8^-$):** $$\lim_{t \to 8^-} D(t) = \lim_{t \to 8} \left( \frac{1}{10}t^2 - \frac{6}{5}t + 4 \right) = 0.8$$ 3. **Límite por la derecha ($t \to 8^+$):** Usamos la segunda rama: $$\lim_{t \to 8^+} D(t) = \lim_{t \to 8} \left( \frac{-36}{t} + 6 \right) = \frac{-36}{8} + 6 = -4.5 + 6 = 1.5$$ Como los límites laterales son distintos ($0.8 \neq 1.5$), la función presenta una discontinuidad de salto finito en $t = 8$. 💡 **Tip:** Un salto instantáneo ocurre cuando los límites laterales en un punto son diferentes. La magnitud del salto es el valor absoluto de la diferencia entre ambos límites. **Magnitud del salto:** $$|1.5 - 0.8| = 0.7$$ La demanda no fue continua. A las **8:00 horas** hubo un salto de **0.7 cientos de Gbps** (70 Gbps). $$\boxed{\text{No es continua en } t=8. \text{ Salto de } 0.7 \text{ unidades.}}$$

Para representar la función, analizamos cada tramo: - **Tramo 1 ($0 \le t \le 8$):** Es una parábola convexa (forma de U). El vértice está en $t = \frac{-b}{2a} = \frac{1.2}{0.2} = 6$. En $t=6$, $D(6) = 0.4$. - **Tramo 2 ($8 < t \le 24$):** Es un trozo de hipérbola creciente. Calculamos puntos clave: - $D(0) = 4$ - $D(6) = 0.4$ (mínimo de la parábola) - $D(8^-) = 0.8$ - $D(8^+) = 1.5$ - $D(24) = \frac{-36}{24} + 6 = -1.5 + 6 = 4.5$

**b) Calcula los valores de las demandas mínima y máxima absolutas y cuando se alcanzaron.** Para hallar los extremos absolutos en un intervalo cerrado, debemos comparar los valores de la función en: 1. Los extremos de los intervalos ($t=0, t=8$ y $t=24$). 2. Los puntos donde la derivada es cero (puntos críticos). Calculamos la derivada $D'(t)$ por tramos: $$D'(t) = \begin{cases} \frac{2}{10}t - \frac{6}{5} = \frac{1}{5}t - \frac{6}{5} & \text{si } 0 < t < 8 \\ \frac{36}{t^2} & \text{si } 8 < t < 24 \end{cases}$$ **Buscamos puntos críticos ($D'(t) = 0$):** - En el primer tramo: $\frac{1}{5}t - \frac{6}{5} = 0 \implies t = 6$. (Este valor pertenece al intervalo $[0, 8]$). - En el segundo tramo: $\frac{36}{t^2} = 0$ no tiene solución. Además, como $36/t^2$ siempre es positivo para $t > 0$, la función es siempre creciente en este tramo. 💡 **Tip:** Para encontrar máximos y mínimos absolutos en funciones a trozos, es vital evaluar también los límites en los puntos de discontinuidad.

Creamos una tabla de valores con los puntos candidatos: $$\begin{array}{c|c|l} t & D(t) & \text{Justificación} \\ \hline 0 & 4 & \text{Extremo inicial del día} \\ 6 & 0.4 & \text{Punto crítico (mínimo local)} \\ 8^- & 0.8 & \text{Final del primer tramo} \\ 8^+ & 1.5 & \text{Inicio del segundo tramo} \\ 24 & 4.5 & \text{Extremo final del día} \\ \end{array}$$ Analizando los valores: - El valor más pequeño de toda la tabla es $0.4$. - El valor más grande de toda la tabla es $4.5$. **Conclusión:** - La **demanda mínima absoluta** es de **0.4 cientos de Gbps** (40 Gbps) y se alcanzó a las **6:00 horas** ($t=6$). - La **demanda máxima absoluta** es de **4.5 cientos de Gbps** (450 Gbps) y se alcanzó a las **24:00 horas** ($t=24$). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Mínimo: } 0.4 \text{ en } t=6; \quad \text{Máximo: } 4.5 \text{ en } t=24}$$