Álgebra 2020 Canarias
Optimización de ingresos en un mercado (Programación lineal)
En un puesto del mercado se preparan dos tipos de cajas de frutas y verduras para repartir a domicilio. Cada caja del tipo A (caja pequeña) lleva 3 kg de fruta y 3 kg de verdura. Cada caja del tipo B (caja grande) lleva 5 kg de fruta y 8 kg de verdura. Cada día hay que cubrir una demanda fija de al menos 20 cajas de tipo A. Las cajas tipo A se venden a 10 € cada una y las cajas tipo B a 18 € cada una. El puesto tiene 195 kg de fruta y 240 kg de verduras disponibles diariamente todas las mañanas. Se desea determinar el número de cajas de cada tipo que se han de preparar diariamente para maximizar los ingresos.
a) Plantear el problema y representar la región factible.
b) ¿Cuántas cajas de cada tipo deben prepararse cada día para maximizar los ingresos? ¿Cuáles son los ingresos máximos?
Paso 1
Definición de variables y planteamiento del problema
**a) Plantear el problema y representar la región factible.**
Primero, definimos las variables de decisión del problema:
- $x$: número de cajas de tipo A (pequeñas) a preparar diariamente.
- $y$: número de cajas de tipo B (grandes) a preparar diariamente.
El objetivo es maximizar los ingresos, que vienen dados por la función objetivo $I(x, y)$:
$$I(x, y) = 10x + 18y$$
A continuación, establecemos las restricciones basadas en los recursos disponibles y la demanda:
1. **Fruta:** $3x + 5y \le 195$ (disponemos de 195 kg de fruta).
2. **Verdura:** $3x + 8y \le 240$ (disponemos de 240 kg de verdura).
3. **Demanda A:** $x \ge 20$ (al menos 20 cajas de tipo A).
4. **No negatividad:** $y \ge 0$ (el número de cajas no puede ser negativo).
💡 **Tip:** En problemas de programación lineal, siempre es fundamental definir claramente qué representan $x$ e $y$ y escribir la función que queremos maximizar o minimizar.
Paso 2
Cálculo de los vértices de la región factible
Para representar la región factible, trazamos las rectas asociadas a las restricciones y buscamos sus puntos de corte:
- **Recta 1 ($r_1$):** $3x + 5y = 195$. Si $x=0 \implies y=39$; si $y=0 \implies x=65$. Pasa por $(0, 39)$ y $(65, 0)$.
- **Recta 2 ($r_2$):** $3x + 8y = 240$. Si $x=0 \implies y=30$; si $y=0 \implies x=80$. Pasa por $(0, 30)$ y $(80, 0)$.
- **Recta 3 ($r_3$):** $x = 20$. Es una recta vertical.
Los vértices de la región factible son las intersecciones de estas rectas que cumplen todas las inecuaciones:
1. **Vértice A:** Intersección de $x=20$ e $y=0$.
$$\mathbf{A(20, 0)}$$
2. **Vértice B:** Intersección de $3x+5y=195$ e $y=0$. Como $3x=195 \implies x=65$.
$$\mathbf{B(65, 0)}$$
3. **Vértice C:** Intersección de $3x+5y=195$ y $3x+8y=240$.
Restando ambas ecuaciones: $(3x+8y)-(3x+5y) = 240-195 \implies 3y = 45 \implies y=15$.
Sustituyendo $y=15$ en la primera: $3x + 5(15) = 195 \implies 3x + 75 = 195 \implies 3x = 120 \implies x=40$.
$$\mathbf{C(40, 15)}$$
4. **Vértice D:** Intersección de $x=20$ y $3x+8y=240$.
Sustituyendo $x=20$: $3(20) + 8y = 240 \implies 60 + 8y = 240 \implies 8y = 180 \implies y=22.5$.
$$\mathbf{D(20, 22.5)}$$
💡 **Tip:** Los vértices son los candidatos a solución óptima. Asegúrate de que todos pertenezcan a la región sombreada en el gráfico.
Paso 3
Maximización de la función de ingresos
**b) ¿Cuántas cajas de cada tipo deben prepararse cada día para maximizar los ingresos? ¿Cuáles son los ingresos máximos?**
Evaluamos la función objetivo $I(x, y) = 10x + 18y$ en cada uno de los vértices hallados:
- En $A(20, 0)$: $I(20, 0) = 10(20) + 18(0) = 200\,€$.
- En $B(65, 0)$: $I(65, 0) = 10(65) + 18(0) = 650\,€$.
- En $C(40, 15)$: $I(40, 15) = 10(40) + 18(15) = 400 + 270 = 670\,€$.
- En $D(20, 22.5)$: $I(20, 22.5) = 10(20) + 18(22.5) = 200 + 405 = 605\,€$.
Comparando los valores, el ingreso máximo es de **670 €**, el cual se alcanza en el punto $C(40, 15)$.
Por lo tanto, para maximizar los ingresos, deben prepararse diariamente **40 cajas del tipo A** y **15 cajas del tipo B**.
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{\text{Se deben preparar 40 cajas tipo A y 15 cajas tipo B. El ingreso máximo es de 670 €}}$$