Estimación de la proporción y tamaño muestral

**a) Estima, con una confianza del 94%, en qué intervalo se encuentra la proporción de alumnos que utilizan la cafetería del instituto.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el problema para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 48$. - Alumnos que NO utilizan la cafetería: $12$. - Alumnos que SÍ utilizan la cafetería (éxitos): $48 - 12 = 36$. Calculamos la proporción muestral $\hat{p}$ de alumnos que sí utilizan la cafetería: $$\hat{p} = \frac{36}{48} = 0,75$$ Calculamos también el complementario $\hat{q}$: $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0,75 = 0,25$$ 💡 **Tip:** Asegúrate de leer bien si te piden la proporción de los que 'utilizan' o 'no utilizan' la cafetería, ya que el enunciado da el dato de los negativos primero.

Para un nivel de confianza del $94\%$, el valor de $1 - \alpha = 0,94$. Calculamos el nivel de significación $\alpha$: $$\alpha = 1 - 0,94 = 0,06 \implies \frac{\alpha}{2} = 0,03$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0,03 = 0,97$$ Consultando la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$, observamos que para una probabilidad de $0,97$, el valor correspondiente es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1,88}$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no aparece en la tabla, toma el más cercano o realiza una interpolación lineal.

La fórmula del intervalo de confianza para la proporción es: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}, \quad \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible $E$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} = 1,88 \cdot \sqrt{\frac{0,75 \cdot 0,25}{48}} = 1,88 \cdot \sqrt{\frac{0,1875}{48}}$$ $$E = 1,88 \cdot \sqrt{0,00390625} = 1,88 \cdot 0,0625 = 0,1175$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Extremo inferior: $0,75 - 0,1175 = 0,6325$ - Extremo superior: $0,75 + 0,1175 = 0,8675$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (0,6325; \, 0,8675)}$$

**b) ¿Qué tamaño muestral hubiese sido necesario tomar para estimar dicha proporción con un error menor del 4% y con una confianza del 90%?** En este apartado cambian las condiciones: - Error máximo admisible: $E < 0,04$ (un $4\%$). - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,90 \implies \alpha = 0,10 \implies \frac{\alpha}{2} = 0,05$. - Proporción estimada: Usamos la de la muestra anterior, $\hat{p} = 0,75$ y $\hat{q} = 0,25$. Buscamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,05 = 0,95$$ En las tablas, la probabilidad $0,95$ se encuentra justo entre $z = 1,64$ y $z = 1,65$. Usaremos: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1,645}$$

Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \implies E^2 = z_{\alpha/2}^2 \cdot \frac{\hat{p}\hat{q}}{n} \implies n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p}\hat{q}}{E^2}$$ Sustituimos los valores: $$n = \frac{(1,645)^2 \cdot 0,75 \cdot 0,25}{(0,04)^2} = \frac{2,706025 \cdot 0,1875}{0,0016}$$ $$n = \frac{0,5073796875}{0,0016} \approx 317,11$$ Como el error debe ser **menor** del $4\%$, el tamaño de la muestra debe ser el primer número entero superior para garantizar que el error no exceda ese límite. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 318 \text{ estudiantes}}$$ 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, siempre debemos redondear el resultado al siguiente número entero superior, independientemente de los decimales.