Inferencia estadística y distribución muestral de la media

**a) Determina el tamaño de la muestra si se desea que el intervalo de confianza al 92% para el peso medio de las piñas de plátanos tenga una amplitud de 4 kg** Primero definimos la variable aleatoria $X$, que representa el peso de las piñas de plátanos: $$X \sim N(\mu, 8)$$ Para calcular el tamaño de la muestra $n$, necesitamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente a un nivel de confianza del $92\%$. 1. Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.92$ 2. Nivel de significación: $\alpha = 1 - 0.92 = 0.08$ 3. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.04 = 0.96$$ Consultando la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$, vemos que para una probabilidad de $0.96$, el valor más cercano es $z_{\alpha/2} = 1.75$ (que corresponde a $0.9599$). 💡 **Tip:** Si el valor de probabilidad no aparece exacto en la tabla, tomamos el más cercano o hacemos una media si está justo en el centro. En este caso, $1.75$ es una aproximación excelente. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.75}$$

La amplitud del intervalo de confianza es el doble del error máximo admisible ($A = 2E$). El enunciado nos dice que la amplitud es de $4$ kg, por lo tanto: $$2E = 4 \implies E = 2\text{ kg}$$ La fórmula del error máximo admisible para la media es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores conocidos ($\sigma = 8$, $E = 2$, $z_{\alpha/2} = 1.75$) y despejamos $n$: $$2 = 1.75 \cdot \frac{8}{\sqrt{n}}$$ $$2\sqrt{n} = 1.75 \cdot 8$$ $$2\sqrt{n} = 14 \implies \sqrt{n} = 7$$ $$n = 7^2 = 49$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el resultado de $n$ no fuera exacto, siempre debemos redondear al siguiente número entero superior para garantizar que el error sea menor o igual al pedido. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 49 \text{ piñas}}$$

**b) Si el peso medio de las piñas de plátanos fuera de 40 kg. ¿Cuál sería la probabilidad de que el peso medio de una muestra de 81 piñas estuviese entre 38 y 41 kg?** En este apartado nos dan la media poblacional $\mu = 40$ kg y un tamaño de muestra $n = 81$. La distribución de la media muestral $\bar{X}$ sigue una normal de parámetros: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Calculamos la desviación típica de la media muestral (error estándar): $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{8}{\sqrt{81}} = \frac{8}{9} \approx 0.8889$$ Por tanto, la distribución de la media de la muestra es: $$\bar{X} \sim N(40, 0.8889)$$ 💡 **Tip:** La media de las muestras siempre se distribuye con la misma media que la población, pero con una desviación típica más pequeña (dividida por $\sqrt{n}$).

Queremos hallar $P(38 \le \bar{X} \le 41)$. Para ello, tipificamos la variable para pasar a una $Z \sim N(0, 1)$ usando la fórmula $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$: $$P(38 \le \bar{X} \le 41) = P\left(\frac{38 - 40}{8/9} \le Z \le \frac{41 - 40}{8/9}\right)$$ $$= P\left(\frac{-2}{0.8889} \le Z \le \frac{1}{0.8889}\right)$$ $$= P(-2.25 \le Z \le 1.125)$$ Calculamos esta probabilidad por intervalos: $$P(-2.25 \le Z \le 1.13) = P(Z \le 1.13) - P(Z \le -2.25)$$ Utilizando las propiedades de simetría: $$P(Z \le 1.13) - (1 - P(Z \le 2.25))$$ Buscamos los valores en la tabla $N(0, 1)$: - $P(Z \le 1.13) = 0.8708$ - $P(Z \le 2.25) = 0.9878$ Sustituimos: $$0.8708 - (1 - 0.9878) = 0.8708 - 0.0122 = 0.8586$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(38 \le \bar{X} \le 41) = 0.8586}$$