Cálculo de áreas y costes del logotipo de XYPERIA

**a) La zona sombreada se va a recubrir de cobre ¿Qué superficie tiene esta zona?** Para calcular el área entre dos curvas, lo primero es encontrar sus puntos de intersección. Estos puntos marcarán los límites de nuestras integrales. Igualamos $f(x)$ y $g(x)$: $$x^3 - x = x$$ $$x^3 - 2x = 0$$ Factorizamos la ecuación: $$x(x^2 - 2) = 0$$ De aquí obtenemos tres soluciones: 1. $x = 0$ 2. $x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2} \text{ y } x = -\sqrt{2}$ Los puntos de corte son **$x = -\sqrt{2}$**, **$x = 0$** y **$x = \sqrt{2}$**. 💡 **Tip:** Siempre que busques intersecciones, intenta factorizar. Si te queda una ecuación de segundo grado incompleta como $x^2-2=0$, no olvides considerar tanto la raíz positiva como la negativa.

Observamos que las dos funciones son impares (simétricas respecto al origen): $f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -f(x)$ $g(-x) = -x = -g(x)$ Esto significa que el área de la zona a la izquierda del eje $Y$ es idéntica al área de la zona a la derecha. Por tanto, podemos calcular el área de una parte y multiplicarla por 2. En el intervalo $[0, \sqrt{2}]$, comprobamos cuál es la función superior: - Si tomamos $x=1$: $g(1) = 1$ $f(1) = 1^3 - 1 = 0$ Como $g(1) > f(1)$, la función **$g(x)=x$ está por encima**. El área total será: $$A = 2 \cdot \int_{0}^{\sqrt{2}} (g(x) - f(x)) \, dx$$ $$A = 2 \cdot \int_{0}^{\sqrt{2}} (x - (x^3 - x)) \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{\sqrt{2}} (2x - x^3) \, dx$$ 💡 **Tip:** Usar la simetría simplifica mucho los cálculos, ya que trabajar con el límite inferior $0$ suele ser más rápido al aplicar la Regla de Barrow.

Calculamos la integral definida utilizando la Regla de Barrow: 1. Hallamos la primitiva: $$\int (2x - x^3) \, dx = \frac{2x^2}{2} - \frac{x^4}{4} = x^2 - \frac{x^4}{4}$$ 2. Aplicamos los límites de integración: $$I = \left[ x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{\sqrt{2}}$$ $$I = \left( (\sqrt{2})^2 - \frac{(\sqrt{2})^4}{4} \right) - \left( 0^2 - \frac{0^4}{4} \right)$$ $$I = \left( 2 - \frac{4}{4} \right) - 0 = 2 - 1 = 1$$ La integral de una de las regiones es **$1$ $m^2$**. 💡 **Tip:** Recuerda que $(\sqrt{2})^2 = 2$ y $(\sqrt{2})^4 = ((\sqrt{2})^2)^2 = 2^2 = 4$.

Como el logotipo consta de dos zonas iguales debido a la simetría, multiplicamos por 2: $$Area_{total} = 2 \cdot 1 = 2 \text{ m}^2$$ La superficie de cobre necesaria es de 2 metros cuadrados. ✅ **Resultado:** $$\boxed{Area = 2 \text{ m}^2}$$

**b) Teniendo en cuenta que el $m^2$ de plancha de cobre se cobra a 60 € y no se desperdicia nada, que el coste de mano de obra es el 30% de lo que cuesta el cobre, y que el círculo de madera, el transporte y el montaje in situ tienen un coste de fijo 270 €, ¿cuánto deberá pagar XYPERIA por la construcción e instalación de su logotipo corporativo?** Desglosamos los costes paso a paso: 1. **Coste del material (cobre):** Tenemos $2 \text{ m}^2$ a $60 \, €/m^2$: $$C_{cobre} = 2 \cdot 60 = 120 \, €$$ 2. **Coste de mano de obra:** Es el $30\%$ del coste del cobre: $$C_{obra} = 0,30 \cdot 120 = 36 \, €$$ 3. **Costes fijos (madera, transporte y montaje):** $$C_{fijos} = 270 \, €$$ Sumamos todas las cantidades para obtener el total: $$Total = 120 + 36 + 270 = 426 \, €$$ 💡 **Tip:** En problemas de porcentajes, recuerda que el $30\%$ de una cantidad se calcula multiplicando por $0,30$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{Total = 426 \, €}$$