Sistema de ecuaciones: Venta de pendrives

**a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones.** En primer lugar, definimos las variables que representan las incógnitas del problema: - $x$: número de pendrives de 32 Gb. - $y$: número de pendrives de 64 Gb. - $z$: número de pendrives de 128 Gb. A partir del enunciado, extraemos las siguientes relaciones: 1) El cliente ha comprado un total de **15 pendrives**: $$x + y + z = 15$$ 2) El coste total ha sido de **160 €**, con precios de 5€, 15€ y 20€ respectivamente: $$5x + 15y + 20z = 160$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable simplificar las ecuaciones si es posible. En la segunda ecuación, podemos dividir todos los términos entre 5: $$x + 3y + 4z = 32$$

La tercera condición indica que el número de pendrives de **128 Gb ($z$) era la cuarta parte del resto** (los de 32 Gb y 64 Gb juntos): $$z = \frac{1}{4}(x + y)$$ Para expresar esta ecuación de forma lineal, multiplicamos por 4 y pasamos todas las incógnitas a un lado: $$4z = x + y \implies x + y - 4z = 0$$ Reuniendo todas las ecuaciones, el sistema de ecuaciones lineales es: $$\begin{cases} x + y + z = 15 \\ 5x + 15y + 20z = 160 \\ x + y - 4z = 0 \end{cases}$$ ✅ **Resultado (Sistema planteado):** $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 15 \\ x + 3y + 4z = 32 \\ x + y - 4z = 0 \end{cases}}$$

**b) Calcular cuántos pendrives de cada clase compró el cliente** Podemos resolver el sistema por varios métodos (Gauss, sustitución, etc.). En este caso, observamos que las ecuaciones (1) y (3) son muy parecidas, lo que facilita la eliminación de $x$ e $y$. Restamos la ecuación (3) a la ecuación (1): $$(x + y + z) - (x + y - 4z) = 15 - 0$$ $$x - x + y - y + z + 4z = 15$$ $$5z = 15$$ $$z = \frac{15}{5} = 3$$ 💡 **Tip:** Al notar que un bloque de variables ($x+y$) se repite, la resta directa ahorra mucho tiempo en el examen.

Sabiendo que $z = 3$, sustituimos este valor en las ecuaciones (1) y (2) simplificada para obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: De la ecuación (1): $x + y + 3 = 15 \implies x + y = 12$ De la ecuación (2): $x + 3y + 4(3) = 32 \implies x + 3y + 12 = 32 \implies x + 3y = 20$ Ahora restamos la primera a la segunda para eliminar $x$: $$(x + 3y) - (x + y) = 20 - 12$$ $$2y = 8 \implies y = 4$$ Finalmente, calculamos $x$ usando $x + y = 12$: $$x + 4 = 12 \implies x = 8$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Compró 8 pendrives de 32 Gb, 4 de 64 Gb y 3 de 128 Gb}}$$