Distribuciones Binomial y Normal aplicadas a la eficacia de un medicamento

**a) Si se administra a 10 pacientes, ¿cuál es la probabilidad de que, a lo sumo, 9 no se curen?** Primero definimos la variable aleatoria. Nos preguntan por los pacientes que **no se curen**. Sabemos que: - Probabilidad de curar: $p = 0,8$ - Probabilidad de no curar: $q = 1 - 0,8 = 0,2$ Sea $X$ el número de pacientes que no se curen de un total de $n = 10$. Esta variable sigue una distribución Binomial: $$X \sim B(10, \, 0,2)$$ Donde el éxito en este contexto es "no curarse" ($p=0,2$). La probabilidad de que exactamente $k$ pacientes no se curen se calcula con la fórmula: $$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$ 💡 **Tip:** "A lo sumo 9" significa como máximo 9, es decir, $P(X \le 9)$.

Calcular $P(X \le 9)$ directamente implicaría sumar las probabilidades desde $X=0$ hasta $X=9$. Es mucho más sencillo utilizar el suceso contrario: $$P(X \le 9) = 1 - P(X \gt 9) = 1 - P(X = 10)$$ Calculamos $P(X = 10)$: $$P(X = 10) = \binom{10}{10} \cdot (0,2)^{10} \cdot (0,8)^0 = 1 \cdot (0,2)^{10} \cdot 1$$ $$P(X = 10) = 0,0000001024$$ Ahora restamos de la unidad: $$P(X \le 9) = 1 - 0,0000001024 = 0,9999998976$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \le 9) \approx 1}$$

**b) Si se administra a 100 pacientes, ¿cuál es la probabilidad de que el número de curados esté entre 76 y 88?** Sea $Y$ el número de pacientes **curados**. En este caso $n = 100$ y la probabilidad de curar es $p = 0,8$. Tenemos una $Y \sim B(100, \, 0,8)$. Como $n$ es grande, comprobamos si podemos aproximar por una Normal: 1. $n \cdot p = 100 \cdot 0,8 = 80 \gt 5$ 2. $n \cdot q = 100 \cdot 0,2 = 20 \gt 5$ Se cumplen las condiciones. Los parámetros de la Normal $N(\mu, \sigma)$ serán: - $\mu = n \cdot p = 80$ - $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{100 \cdot 0,8 \cdot 0,2} = \sqrt{16} = 4$ Por tanto, aproximamos $Y$ por una variable continua $Y' \sim N(80, \, 4)$.

Queremos calcular $P(76 \le Y \le 88)$. Al pasar de una variable discreta a una continua, aplicamos la **corrección de continuidad de Yates**: $$P(76 \le Y \le 88) \approx P(75,5 \le Y' \le 88,5)$$ Ahora tipificamos la variable para poder usar la tabla de la Normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ usando la fórmula $Z = \frac{Y' - \mu}{\sigma}$: Para $75,5$: $z_1 = \frac{75,5 - 80}{4} = -1,125$ Para $88,5$: $z_2 = \frac{88,5 - 80}{4} = 2,125$ Buscamos entonces: $P(-1,125 \le Z \le 2,125)$. 💡 **Tip:** Recuerda que al aproximar una Binomial $B(n, p)$ por una Normal, el intervalo $[a, b]$ se convierte en $[a-0,5, \, b+0,5]$.

Operamos con las probabilidades de $Z$: $$P(-1,13 \le Z \le 2,13) = P(Z \le 2,13) - P(Z \le -1,13)$$ Como la tabla no tiene valores negativos: $$P(Z \le -1,13) = 1 - P(Z \le 1,13)$$ Sustituyendo los valores de la tabla estándar: - $P(Z \le 2,13) \approx 0,9834$ - $P(Z \le 1,13) \approx 0,8708$ $$P = 0,9834 - (1 - 0,8708) = 0,9834 - 0,1292 = 0,8542$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(76 \le Y \le 88) = 0,8542}$$

**c) ¿Cuál es la probabilidad de que, en una muestra de 64 pacientes a los que se ha administrado el medicamento, la proporción de no curados sea menor o igual que 0,15?** Trabajamos con la proporción muestral de "no curados" $\hat{q}$. Sabemos que la proporción poblacional es $q = 0,2$ y el tamaño de la muestra es $n = 64$. La distribución de la proporción muestral $\hat{q}$ sigue una Normal de parámetros: - Media: $\mu_{\hat{q}} = q = 0,2$ - Desviación típica: $\sigma_{\hat{q}} = \sqrt{\frac{p \cdot q}{n}} = \sqrt{\frac{0,8 \cdot 0,2}{64}} = \sqrt{\frac{0,16}{64}} = \frac{0,4}{8} = 0,05$ Por tanto: $\hat{q} \sim N(0,2, \, 0,05)$.

Queremos hallar $P(\hat{q} \le 0,15)$. Tipificamos la variable: $$Z = \frac{\hat{q} - \mu_{\hat{q}}}{\sigma_{\hat{q}}} = \frac{0,15 - 0,20}{0,05} = \frac{-0,05}{0,05} = -1$$ Entonces buscamos $P(Z \le -1)$: $$P(Z \le -1) = 1 - P(Z \le 1)$$ Consultando el valor en la tabla de la Normal estándar: $P(Z \le 1) = 0,8413$ $$P(\hat{q} \le 0,15) = 1 - 0,8413 = 0,1587$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\hat{q} \le 0,15) = 0,1587}$$