Probabilidad y Teorema de Bayes en el reparto de verduras

**a) Dibujar el correspondiente diagrama de árbol.** Primero, definimos los sucesos del enunciado: - $A$: La verdura procede de la finca A. - $B$: La verdura procede de la finca B. - $C$: La verdura procede de la finca C. - $D$: La verdura presenta deterioros. - $\bar{D}$: La verdura **no** presenta deterioros. Sabemos que: - $P(A) = \frac{2}{7}$ - $P(B) = \frac{2}{5}$ - Como la finca C es el resto, calculamos su probabilidad restando a la unidad: $$P(C) = 1 - P(A) - P(B) = 1 - \frac{2}{7} - \frac{2}{5} = 1 - \left( \frac{10 + 14}{35} \right) = 1 - \frac{24}{35} = \frac{11}{35}$$ Las probabilidades condicionadas (deterioros) son: - $P(D|A) = 0.04 \implies P(\bar{D}|A) = 0.96$ - $P(D|B) = 0.06 \implies P(\bar{D}|B) = 0.94$ - $P(D|C) = 0.05 \implies P(\bar{D}|C) = 0.95$ 💡 **Tip:** Recuerda que en cada nodo del diagrama de árbol, la suma de las probabilidades de las ramas que salen de él debe ser igual a 1.

A continuación, representamos el diagrama de árbol con todas las probabilidades:

**b) En un determinado envío se han repartido 4000 kilogramos de verduras ¿Cuál es la cantidad esperada que no presenta deterioros?** Primero calculamos la probabilidad total de que una verdura no esté deteriorada $P(\bar{D})$ usando el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(\bar{D}) = P(A) \cdot P(\bar{D}|A) + P(B) \cdot P(\bar{D}|B) + P(C) \cdot P(\bar{D}|C)$$ Sustituimos los valores: $$P(\bar{D}) = \left( \frac{2}{7} \cdot 0.96 \right) + \left( \frac{2}{5} \cdot 0.94 \right) + \left( \frac{11}{35} \cdot 0.95 \right)$$ $$P(\bar{D}) = \left( \frac{2}{7} \cdot \frac{96}{100} \right) + \left( \frac{2}{5} \cdot \frac{94}{100} \right) + \left( \frac{11}{35} \cdot \frac{95}{100} \right)$$ $$P(\bar{D}) = \frac{192}{700} + \frac{188}{500} + \frac{1045}{3500}$$ Para sumar, buscamos denominador común (3500): $$P(\bar{D}) = \frac{960}{3500} + \frac{1316}{3500} + \frac{1045}{3500} = \frac{3321}{3500} \approx 0.94886$$

Para hallar la cantidad esperada en kilogramos, multiplicamos el total de kg por la probabilidad calculada: $$\text{Cantidad esperada} = 4000 \cdot P(\bar{D}) = 4000 \cdot \frac{3321}{3500}$$ $$\text{Cantidad esperada} = 40 \cdot \frac{3321}{35} = \frac{8 \cdot 3321}{7} = \frac{26568}{7} \approx 3795.43 \text{ kg}$$ 💡 **Tip:** La cantidad esperada es simplemente el valor de la probabilidad aplicado a una muestra de tamaño $N$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{3795.43 \text{ kg}}$$

**c) Si se elige una verdura al azar y se observa que está deteriorada, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la finca C?** Nos piden la probabilidad de que proceda de C sabiendo que está deteriorada, es decir, $P(C|D)$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(C|D) = \frac{P(C) \cdot P(D|C)}{P(D)}$$ Primero, calculamos $P(D)$, que es el suceso contrario a $P(\bar{D})$: $$P(D) = 1 - P(\bar{D}) = 1 - \frac{3321}{3500} = \frac{179}{3500} \approx 0.05114$$ Ahora calculamos la probabilidad de la intersección $P(C \cap D)$: $$P(C \cap D) = P(C) \cdot P(D|C) = \frac{11}{35} \cdot 0.05 = \frac{11}{35} \cdot \frac{5}{100} = \frac{55}{3500}$$ Sustituimos en la fórmula de Bayes: $$P(C|D) = \frac{\frac{55}{3500}}{\frac{179}{3500}} = \frac{55}{179} \approx 0.3073$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C|D) = \frac{55}{179} \approx 0.3073}$$