Cálculo de superficie y costes de construcción de una pared

**a) Calcular cuando mide la superficie de la pared.** La superficie de la pared corresponde al área encerrada bajo la curva $f(x)$ y el eje de abscisas ($y=0$) entre los valores $x=0$ y $x=8$. Como la función está definida a trozos, debemos calcular la superficie como la suma de dos integrales definidas, dividiendo el intervalo en el punto de salto entre ramas ($x=4$). La superficie total $S$ será: $$S = \int_{0}^{8} f(x) \, dx = \int_{0}^{4} (x^2 - 3x + 10) \, dx + \int_{4}^{8} (-x^2 + 13x - 22) \, dx$$ 💡 **Tip:** El área bajo una función positiva coincide con su integral definida. En este caso, ambas ramas son positivas en sus respectivos intervalos, por lo que no es necesario usar valores absolutos por separado.

Calculamos la integral del primer tramo utilizando la regla de Barrow: $$\int_{0}^{4} (x^2 - 3x + 10) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 10x \right]_{0}^{4}$$ Evaluamos en los límites de integración: - Para $x=4$: $\frac{4^3}{3} - \frac{3 \cdot 4^2}{2} + 10(4) = \frac{64}{3} - 24 + 40 = \frac{64}{3} + 16 = \frac{64+48}{3} = \frac{112}{3}$ - Para $x=0$: $0$ Por tanto: $$S_1 = \frac{112}{3} \approx 37.33 \, m^2$$

Calculamos la integral del segundo tramo: $$\int_{4}^{8} (-x^2 + 13x - 22) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{13x^2}{2} - 22x \right]_{4}^{8}$$ Evaluamos en el límite superior ($x=8$): $$F(8) = -\frac{8^3}{3} + \frac{13 \cdot 8^2}{2} - 22(8) = -\frac{512}{3} + 416 - 176 = -\frac{512}{3} + 240 = \frac{-512 + 720}{3} = \frac{208}{3}$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=4$): $$F(4) = -\frac{4^3}{3} + \frac{13 \cdot 4^2}{2} - 22(4) = -\frac{64}{3} + 104 - 88 = -\frac{64}{3} + 16 = \frac{-64 + 48}{3} = -\frac{16}{3}$$ Aplicamos Barrow: $$S_2 = F(8) - F(4) = \frac{208}{3} - \left( -\frac{16}{3} \right) = \frac{208 + 16}{3} = \frac{224}{3} \approx 74.67 \, m^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al aplicar la Regla de Barrow es fundamental prestar atención a los signos negativos, especialmente al restar el valor del límite inferior.

Sumamos las dos superficies parciales obtenidas: $$S = S_1 + S_2 = \frac{112}{3} + \frac{224}{3} = \frac{336}{3} = 112 \, m^2$$ ✅ **Resultado (Superficie):** $$\boxed{S = 112 \, m^2}$$

**b) Si el cartón piedra cuesta 4 €/$m^2$, la pintura 0.5 €/$m^2$ y el coste la mano de obra es igual al 70% del coste de los materiales (cartón y pintura) ¿cuánto costará la elaboración de esta pared?** Primero calculamos el coste total de los materiales (cartón y pintura) por cada metro cuadrado: $$\text{Precio materiales/m}^2 = 4 + 0.5 = 4.5 \text{ €/m}^2$$ Multiplicamos por la superficie total calculada en el apartado anterior ($112 \, m^2$): $$\text{Coste Materiales} = 112 \cdot 4.5 = 504 \text{ €}$$

La mano de obra es el 70% del coste de los materiales: $$\text{Mano de obra} = 0.70 \cdot 504 = 352.8 \text{ €}$$ Finalmente, sumamos ambos conceptos para obtener el coste total de la elaboración: $$\text{Coste Total} = \text{Materiales} + \text{Mano de Obra}$$ $$\text{Coste Total} = 504 + 352.8 = 856.8 \text{ €}$$ 💡 **Tip:** También podrías calcularlo directamente como $\text{Coste Total} = 504 \cdot 1.7$, ya que sumarle un 70% es equivalente a multiplicar por $1.7$. ✅ **Resultado (Coste final):** $$\boxed{856.8 \text{ €}}$$