Programación lineal: Compra de gabardinas

**a) Representar la región factible y los vértices.** En primer lugar, identificamos las variables del problema: - $x$: número de gabardinas de paño. - $y$: número de gabardinas de piel. A continuación, escribimos las restricciones basadas en el enunciado: 1. **Presupuesto:** El coste total no puede superar los 5400 €. $$180x + 300y \le 5400$$ Podemos simplificar esta inecuación dividiendo por 60 para facilitar los cálculos: $$3x + 5y \le 90$$ 2. **Capacidad:** El número total de unidades no puede ser superior a 20. $$x + y \le 20$$ 3. **No negatividad:** No se pueden comprar cantidades negativas. $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ 💡 **Tip:** Simplificar las inecuaciones siempre que sea posible ayuda a encontrar los puntos de corte con los ejes de forma más rápida y evita errores de cálculo.

Para dibujar la región factible, representamos las rectas asociadas a cada restricción y determinamos el semiplano solución. - Recta $r_1$ ($3x + 5y = 90$): Si $x=0, y=18 \Rightarrow (0, 18)$. Si $y=0, x=30 \Rightarrow (30, 0)$. - Recta $r_2$ ($x + y = 20$): Si $x=0, y=20 \Rightarrow (0, 20)$. Si $y=0, x=20 \Rightarrow (20, 0)$. La intersección de estos semiplanos junto con el primer cuadrante ($x, y \ge 0$) define un recinto cerrado y acotado. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "r1", "latex": "3x + 5y \\le 90", "color": "#2563eb" }, { "id": "r2", "latex": "x + y \\le 20", "color": "#ef4444" }, { "id": "x_min", "latex": "x \\ge 0", "color": "#111827" }, { "id": "y_min", "latex": "y \\ge 0", "color": "#111827" }, { "id": "reg", "latex": "0 \\le y \\le \\min(20-x, (90-3x)/5) \\left\\{x \\ge 0\\right\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -5, "right": 35, "bottom": -5, "top": 25 } } }

Los vértices de la región factible se obtienen mediante la intersección de las rectas limitantes: - **Vértice A:** Origen de coordenadas. $$\boxed{A(0, 0)}$$ - **Vértice B:** Intersección de $x+y=20$ con el eje OX ($y=0$). $$\boxed{B(20, 0)}$$ - **Vértice C:** Intersección de $3x+5y=90$ con el eje OY ($x=0$). $$\boxed{C(0, 18)}$$ - **Vértice D:** Intersección de las dos rectas principales: $$\begin{cases} x + y = 20 \\ 3x + 5y = 90 \end{cases}$$ Multiplicamos la primera por $-3$: $$-3x - 3y = -60$$ Sumamos a la segunda: $$2y = 30 \Rightarrow y = 15$$ Sustituimos para hallar $x$: $$x + 15 = 20 \Rightarrow x = 5$$ $$\boxed{D(5, 15)}$$ 💡 **Tip:** El método de reducción es el más rápido para resolver sistemas de 2 ecuaciones lineales en estos ejercicios.

**b) Si en la venta posterior obtiene un beneficio de 99€ por la venta de cada gabardina de paño y 156€ por la venta de cada gabardina de piel, calcular el número de gabardinas que ha de adquirir de cada tipo para obtener el beneficio máximo.** Definimos la función objetivo (Beneficio): $$f(x, y) = 99x + 156y$$ Evaluamos la función en cada uno de los vértices hallados anteriormente para encontrar el máximo: - $f(A) = f(0, 0) = 99(0) + 156(0) = 0 \text{ €}$ - $f(B) = f(20, 0) = 99(20) + 156(0) = 1980 \text{ €}$ - $f(C) = f(0, 18) = 99(0) + 156(18) = 2808 \text{ €}$ - $f(D) = f(5, 15) = 99(5) + 156(15) = 495 + 2340 = 2835 \text{ €}$ El valor máximo se alcanza en el punto $D(5, 15)$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Debe adquirir 5 gabardinas de paño y 15 de piel para un beneficio máximo de 2835 €}}$$