Inferencia estadística: Intervalos de confianza para proporciones

**a) Con una confianza del 97%, construir un intervalo de confianza para la proporción de internautas de la región que no usan redes sociales.** Primero, extraemos los datos de la muestra de tamaño $n = 400$ internautas: - Número de personas que usan redes sociales: $344$. - Número de personas que **no usan** redes sociales: $400 - 344 = 56$. Calculamos la proporción muestral de los que **no usan** redes sociales, que llamaremos $\hat{p}$: $$\hat{p} = \frac{56}{400} = 0,14$$ Por tanto, la proporción complementaria (los que sí usan) es: $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0,14 = 0,86$$ 💡 **Tip:** Lee siempre con atención qué proporción te piden. En este apartado es sobre los que **no** usan redes sociales, mientras que los datos iniciales suelen referirse al éxito del estudio.

Para un nivel de confianza del $97\%$, tenemos: $$1 - \alpha = 0,97 \implies \alpha = 0,03 \implies \frac{\alpha}{2} = 0,015$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0,015 = 0,985$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$, encontramos que para una probabilidad de $0,985$, el valor es: $$z_{\alpha/2} = 2,17$$ Ahora calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} = 2,17 \cdot \sqrt{\frac{0,14 \cdot 0,86}{400}} = 2,17 \cdot \sqrt{0,000301}$$ $$E \approx 2,17 \cdot 0,01735 \approx 0,0376$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es la cantidad de desviaciones típicas que nos alejamos de la media para cubrir el área de confianza deseada.

El intervalo de confianza viene dado por la fórmula $I = (\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: $$I = (0,14 - 0,0376, \; 0,14 + 0,0376)$$ $$I = (0,1024, \; 0,1776)$$ ✅ **Resultado (Intervalo al 97%):** $$\boxed{[0,1024, \; 0,1776]}$$

**b) Si, para estimar la proporción de internautas que usan redes sociales, se obtiene el intervalo [0,826, 0,894]. ¿Cuál es el nivel de confianza utilizado?** En este caso, el intervalo es para los que **usan** redes sociales. Calculamos el error ($E$) a partir de la amplitud del intervalo: $$2E = 0,894 - 0,826 = 0,068 \implies E = \frac{0,068}{2} = 0,034$$ La proporción muestral $\hat{p}$ es el punto medio: $$\hat{p} = \frac{0,826 + 0,894}{2} = 0,86$$ Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ usando la fórmula del error: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot (1-\hat{p})}{n}} \implies 0,034 = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{0,86 \cdot 0,14}{400}}$$ $$0,034 = z_{\alpha/2} \cdot 0,01735 \implies z_{\alpha/2} = \frac{0,034}{0,01735} \approx 1,96$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $1,96$ es muy común y corresponde habitualmente al $95\%$, pero debemos comprobarlo.

Con $z_{\alpha/2} = 1,96$, calculamos el nivel de confianza: $$P(Z \le 1,96) = 0,9750$$ Esto significa que $1 - \frac{\alpha}{2} = 0,9750$, por lo que: $$\frac{\alpha}{2} = 1 - 0,9750 = 0,025 \implies \alpha = 0,05$$ El nivel de confianza es $1 - \alpha = 1 - 0,05 = 0,95$. ✅ **Resultado (Nivel de confianza):** $$\boxed{95\%}$$

**c) Si la población de la región, con edades entre 16 y 65 años, es de 400000 personas, usando el nivel de confianza del apartado b), ¿entre qué límites está el número de los que no usan redes sociales?** El nivel de confianza del apartado b) era del $95\%$. El intervalo para los que **usan** redes sociales era $[0,826, 0,894]$. Por tanto, la proporción de los que **no usan** redes sociales estará en el intervalo: $$I_{no\,usan} = [1 - 0,894, \; 1 - 0,826] = [0,106, \; 0,174]$$ Para hallar el número de personas, multiplicamos estos límites por la población total $N = 400000$: - Límite inferior: $400000 \cdot 0,106 = 42400$ personas. - Límite superior: $400000 \cdot 0,174 = 69600$ personas. 💡 **Tip:** Para pasar de una proporción a un número absoluto en la población, simplemente aplica el producto $N \cdot \hat{p}$. ✅ **Resultado (Límites poblacionales):** $$\boxed{\text{Entre 42400 y 69600 personas}}$$