Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) Calcular un intervalo de confianza al 90% para la media poblacional de este gasto.** Primero, identificamos los parámetros que nos ofrece el enunciado: - Tamaño de la muestra: $n = 400$ - Media muestral: $\bar{x} = 132$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 24$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.90 \implies 90\%$ Como el tamaño de la muestra es grande ($n \gt 30$), la media muestral sigue una distribución normal: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ 💡 **Tip:** En inferencia estadística para la media, si conocemos la desviación típica poblacional $\sigma$, el intervalo de confianza se construye sumando y restando el error a la media muestral.

Para un nivel de confianza del $90\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Calculamos el nivel de significación $\alpha$: $$1 - \alpha = 0.90 \implies \alpha = 0.10$$ 2. Buscamos la probabilidad acumulada para el valor crítico: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.05 = 0.95$$ 3. Buscamos en la tabla de la distribución normal estándar $N(0,1)$ el valor que deja por debajo una probabilidad de $0.95$. Observamos que el valor está entre $1.64$ y $1.65$: $$z_{\alpha/2} = 1.645$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más habituales son $z_{\alpha/2} = 1.645$ para el $90\%$, $z_{\alpha/2} = 1.96$ para el $95\%$ y $z_{\alpha/2} = 2.575$ para el $99\%$.

La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.645 \cdot \frac{24}{\sqrt{400}} = 1.645 \cdot \frac{24}{20} = 1.645 \cdot 1.2 = 1.974$$ Ahora construimos el intervalo: $$IC = (132 - 1.974, 132 + 1.974) = (130.026, 133.974)$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{IC = [130.026, 133.974]}$$

**b) Calcular el tamaño muestral necesario para que el correspondiente intervalo de confianza del apartado anterior fuese [128,71, 135,29].** Nos dan un nuevo intervalo de confianza al mismo nivel ($90\%$), por lo que $z_{\alpha/2} = 1.645$. Para hallar el error $E$, podemos restar el límite superior y el límite inferior y dividir por dos (ya que el intervalo tiene una amplitud de $2E$): $$2E = 135.29 - 128.71 = 6.58 \implies E = \frac{6.58}{2} = 3.29$$ O también restando el límite superior menos la media: $$E = 135.29 - 132 = 3.29$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la media siempre se encuentra en el punto medio del intervalo de confianza.

A partir de la fórmula del error, despejamos el tamaño muestral $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}$$ Sustituimos los valores conocidos ($z_{\alpha/2} = 1.645$, $\sigma = 24$, $E = 3.29$): $$\sqrt{n} = \frac{1.645 \cdot 24}{3.29} = \frac{39.48}{3.29} = 12$$ Para obtener $n$, elevamos al cuadrado: $$n = 12^2 = 144$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{n = 144 \text{ estudiantes}}$$