Estudio de una función a trozos: déficit institucional

**a) ¿Es continua $D(t)$? Representarla gráficamente.** Para que la función $D(t)$ sea continua en su dominio $[0, 10]$, debemos analizar el punto donde cambia la definición de la función, que es $t = 4$. En los intervalos abiertos $(0, 4)$ y $(4, 10)$, la función es continua por ser de tipo polinómico. Para que sea continua en $t = 4$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función en ese punto: 1. **Límite por la izquierda ($t \to 4^-$):** Usamos la primera rama. $$\lim_{t \to 4^-} D(t) = \lim_{t \to 4} \left( -\frac{(t-2)^2}{4} + 5 \right) = -\frac{(4-2)^2}{4} + 5 = -\frac{2^2}{4} + 5 = -1 + 5 = 4$$ 2. **Límite por la derecha ($t \to 4^+$):** Usamos la segunda rama. $$\lim_{t \to 4^+} D(t) = \lim_{t \to 4} \left( \frac{(t-7)^2}{9} + 3 \right) = \frac{(4-7)^2}{9} + 3 = \frac{(-3)^2}{9} + 3 = \frac{9}{9} + 3 = 1 + 3 = 4$$ 3. **Valor de la función en $t = 4$:** $$D(4) = -\frac{(4-2)^2}{4} + 5 = 4$$ Como $\lim_{t \to 4^-} D(t) = \lim_{t \to 4^+} D(t) = D(4) = 4$, la función **es continua en $t = 4$** y, por tanto, en todo su dominio $[0, 10]$. 💡 **Tip:** Una función a trozos es continua en un punto de salto si los valores de ambas ramas coinciden en dicho punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{D(t) \text{ es continua en todo el intervalo } [0, 10]}$$

Para representar la gráfica, observamos que ambas ramas son parábolas: - La primera rama ($t \in [0, 4]$) es una parábola cóncava (hacia abajo) con vértice en $(2, 5)$. - La segunda rama ($t \in (4, 10]$) es una parábola convexa (hacia arriba) con vértice en $(7, 3)$. Calculamos algunos puntos clave: - $D(0) = -\frac{(0-2)^2}{4} + 5 = 4$ - $D(2) = 5$ (Vértice 1) - $D(4) = 4$ (Punto de cambio) - $D(7) = 3$ (Vértice 2) - $D(10) = \frac{(10-7)^2}{9} + 3 = \frac{9}{9} + 3 = 4$

**b) ¿Es $D(t)$ derivable?** Primero, calculamos la derivada de cada rama en los intervalos abiertos: $$D'(t) = \begin{cases} -\frac{2(t-2)}{4} = -\frac{t-2}{2} & \text{si } 0 < t < 4 \\ \frac{2(t-7)}{9} & \text{si } 4 < t < 10 \end{cases}$$ Para que sea derivable en el punto de cambio $t = 4$, las derivadas laterales deben ser iguales: 1. **Derivada lateral izquierda ($t \to 4^-$):** $$D'(4^-) = -\frac{4-2}{2} = -\frac{2}{2} = -1$$ 2. **Derivada lateral derecha ($t \to 4^+$):** $$D'(4^+) = \frac{2(4-7)}{9} = \frac{2(-3)}{9} = -\frac{6}{9} = -\frac{2}{3}$$ Como $D'(4^-) \neq D'(4^+)$, ya que $-1 \neq -\frac{2}{3}$, la función **no es derivable en $t = 4$**. Gráficamente, esto se traduce en la existencia de un "punto anguloso". 💡 **Tip:** Una función puede ser continua pero no derivable en un punto si las pendientes de las rectas tangentes por la izquierda y por la derecha no coinciden. ✅ **Resultado:** $$\boxed{D(t) \text{ no es derivable en } t = 4}$$

**c) ¿Entre qué valores varía $D(t)$? ¿Cuáles son sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento? ¿Cuándo alcanza los valores máximos y mínimos absolutos?** Para estudiar la monotonía, buscamos los puntos donde $D'(t) = 0$ en cada rama: - Rama 1 ($0 \lt t \lt 4$): $-\frac{t-2}{2} = 0 \implies t = 2$. - Rama 2 ($4 \lt t \lt 10$): $\frac{2(t-7)}{9} = 0 \implies t = 7$. Analizamos el signo de la derivada en los intervalos determinados por estos puntos y el punto de no derivabilidad: $$\begin{array}{c|ccccccc} t & (0,2) & 2 & (2,4) & 4 & (4,7) & 7 & (7,10) \\ \hline D'(t) & + & 0 & - & | & - & 0 & + \\ \hline D(t) & \nearrow & Max & \searrow & - & \searrow & Min & \nearrow \end{array}$$ - **Crecimiento:** $D(t)$ crece en $(0, 2) \cup (7, 10)$. - **Decrecimiento:** $D(t)$ decrece en $(2, 7)$. Aunque en $t=4$ no sea derivable, es decreciente en todo el tramo intermedio. 💡 **Tip:** Un intervalo de decrecimiento se puede unir si la función es continua, como ocurre en $t=4$. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente en: } (0, 2) \cup (7, 10) \quad \text{Decreciente en: } (2, 7)}$$

Para determinar los valores absolutos y el rango de variación, comparamos los valores de la función en los extremos del dominio, en los puntos donde la derivada es cero y en el punto de no derivabilidad: - $D(0) = 4$ - $D(2) = 5$ (Candidato a máximo) - $D(4) = 4$ - $D(7) = 3$ (Candidato a mínimo) - $D(10) = 4$ Comparando los valores: - El **máximo absoluto** es $5$ millones de euros, alcanzado en **$t = 2$** años. - El **mínimo absoluto** es $3$ millones de euros, alcanzado en **$t = 7$** años. - La función varía entre su valor mínimo y su valor máximo, es decir, en el intervalo **$[3, 5]$**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Rango: } [3, 5]. \text{ Máximo absoluto en } t=2. \text{ Mínimo absoluto en } t=7.}$$