Sistema de ecuaciones lineales: Problema de turistas

**a) Plantear el correspondiente sistema.** En primer lugar, definimos las incógnitas basándonos en lo que nos pide el problema: - $x$: número de turistas españoles. - $y$: número de turistas alemanes. - $z$: número de turistas ingleses. Ahora, traducimos las condiciones del enunciado a ecuaciones matemáticas: 1. "En un hotel hay 400 turistas de españoles, alemanes e ingleses": $$x + y + z = 400$$ 2. "El número de alemanes es el 120% del número de ingleses": $$y = 1.2z \implies y - 1.2z = 0$$ 3. "Estos últimos (ingleses), sumados a los españoles, superan en 40 al número de alemanes": $$z + x = y + 40 \implies x - y + z = 40$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un porcentaje como el $120\%$ se expresa de forma decimal dividiendo por 100: $120/100 = 1.2$. El sistema de ecuaciones planteado es: $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 400 \\ y - 1.2z = 0 \\ x - y + z = 40 \end{cases}}$$

**b) ¿Cuántos españoles, alemanes e ingleses hay en el hotel?** Para resolver el sistema, utilizaremos la relación $y = 1.2z$ y la sustituiremos en las otras dos ecuaciones para reducir el número de incógnitas. Sustituimos $y$ en la primera y tercera ecuación: - Primera ecuación: $x + (1.2z) + z = 400 \implies x + 2.2z = 400$ - Tercera ecuación: $x - (1.2z) + z = 40 \implies x - 0.2z = 40$ Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ($x$ y $z$): $$\begin{cases} x + 2.2z = 400 \\ x - 0.2z = 40 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Al tener la misma $x$ en ambas ecuaciones con el mismo coeficiente, el método de reducción restando ambas expresiones es el más rápido.

Restamos la segunda ecuación simplificada a la primera para eliminar la $x$: $$(x + 2.2z) - (x - 0.2z) = 400 - 40$$ $$x - x + 2.2z + 0.2z = 360$$ $$2.4z = 360$$ Despejamos $z$: $$z = \frac{360}{2.4} = 150$$ Por lo tanto, hay **150 turistas ingleses**. $$\boxed{z = 150}$$

Ahora que conocemos $z$, calculamos $y$ usando la relación del enunciado: $$y = 1.2 \cdot z = 1.2 \cdot 150 = 180$$ Finalmente, calculamos $x$ utilizando la suma total de turistas: $$x + y + z = 400$$ $$x + 180 + 150 = 400$$ $$x + 330 = 400$$ $$x = 400 - 330 = 70$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable comprobar que los resultados cumplen todas las condiciones: $70+180+150=400$ (Correcto) y $150+70 = 180+40$ (Correcto). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Hay 70 españoles, 180 alemanes y 150 ingleses}}$$