Matriz con parámetros y cálculo de la matriz inversa

**a) (1 punto) Determine los valores del parámetro $a$ para los que se verifica la igualdad $A^2 - 5A = -I$, donde $I$ es la matriz identidad.** En primer lugar, calculamos la matriz $A^2$ multiplicando la matriz $A$ por sí misma: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 5a \\ a & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 5a \\ a & 3 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto de filas por columnas: - Elemento (1,1): $2 \cdot 2 + 5a \cdot a = 4 + 5a^2$ - Elemento (1,2): $2 \cdot 5a + 5a \cdot 3 = 10a + 15a = 25a$ - Elemento (2,1): $a \cdot 2 + 3 \cdot a = 2a + 3a = 5a$ - Elemento (2,2): $a \cdot 5a + 3 \cdot 3 = 5a^2 + 9$ Por tanto: $$A^2 = \begin{pmatrix} 4 + 5a^2 & 25a \\ 5a & 5a^2 + 9 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, multiplicamos los elementos de la fila de la primera por los de la columna de la segunda y los sumamos.

Ahora calculamos el término $A^2 - 5A$. Calculamos primero $5A$: $$5A = 5 \cdot \begin{pmatrix} 2 & 5a \\ a & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 25a \\ 5a & 15 \end{pmatrix}$$ Realizamos la resta $A^2 - 5A$: $$A^2 - 5A = \begin{pmatrix} 4 + 5a^2 & 25a \\ 5a & 5a^2 + 9 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 10 & 25a \\ 5a & 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5a^2 - 6 & 0 \\ 0 & 5a^2 - 6 \end{pmatrix}$$ Queremos que esta matriz sea igual a $-I$. Siendo $I$ la matriz identidad $2 \times 2$: $$-I = - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Igualamos término a término la matriz resultante con la matriz $-I$: $$\begin{pmatrix} 5a^2 - 6 & 0 \\ 0 & 5a^2 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ De los elementos de la diagonal principal obtenemos la ecuación: $$5a^2 - 6 = -1$$ Resolvemos para $a$: $$5a^2 = 5 \implies a^2 = 1 \implies a = \pm \sqrt{1}$$ Los valores de $a$ que cumplen la condición son: $$a = 1, \quad a = -1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 1, \quad a = -1}$$

**b) (1 punto) Calcule $A^{-1}$ para $a = -1$.** Sustituimos $a = -1$ en la matriz original: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 5(-1) \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$$ Para que exista la inversa, el determinante debe ser distinto de cero: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = (2 \cdot 3) - (-5 \cdot -1) = 6 - 5 = 1$$ Como $|A| = 1 \neq 0$, la matriz es invertible. 💡 **Tip:** El determinante de una matriz $2 \times 2$ se calcula como el producto de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria: $ad - bc$.

Calculamos la matriz de los adjuntos de $A$: - $A_{11} = 3$ - $A_{12} = -(-1) = 1$ - $A_{21} = -(-5) = 5$ - $A_{22} = 2$ La matriz adjunta es: $$Adj(A) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$$ Trasponemos la matriz adjunta: $$(Adj(A))^t = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Finalmente, calculamos la inversa mediante la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (Adj(A))^t$: $$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}}$$