Álgebra 2020 Madrid
Programación lineal: Optimización de producción de sustratos
A.2. ( 2 puntos)
Un vivero elabora dos tipos de sustratos. Para elaborar $1\text{ m}^3$ del tipo A necesita $60\text{ kg}$ de tierra vegetal y $30$ horas de trabajo. Para elaborar $1\text{ m}^3$ del tipo B necesita $50\text{ kg}$ de tierra vegetal y $50$ horas de trabajo. El vivero dispone como máximo de $21000\text{ kg}$ de tierra vegetal y $15000$ horas de trabajo. Además, la cantidad de metros cúbicos que elabora de tipo A debe ser como mucho cinco veces la cantidad de tipo B. Por la venta de cada metro cúbico de tipo A obtiene un beneficio de $50\text{ €}$ y $60\text{ €}$ por cada metro cúbico de tipo B.
a) Represente la región del plano determinada por las restricciones anteriores y determine las coordenadas de sus vértices.
b) Determine cuántos metros cúbicos de cada tipo deben elaborarse para, respetando las restricciones anteriores, maximizar el beneficio. Obtenga el valor del beneficio máximo.
Paso 1
Definición de variables y función objetivo
En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema según lo que se nos pide calcular:
- $x$: metros cúbicos ($m^3$) de sustrato tipo A.
- $y$: metros cúbicos ($m^3$) de sustrato tipo B.
El objetivo es maximizar el beneficio total. Según el enunciado, cada $m^3$ de A aporta $50\text{ €}$ y cada $m^3$ de B aporta $60\text{ €}$. Por tanto, la **función objetivo** es:
$$f(x, y) = 50x + 60y$$
💡 **Tip:** Siempre es útil organizar los datos en una tabla para no olvidar ninguna restricción.
Paso 2
Planteamiento de las restricciones
A partir de los datos del enunciado, establecemos el sistema de inecuaciones:
1. **Tierra vegetal:** $60x + 50y \le 21000$. Simplificando entre 10: $6x + 5y \le 2100$.
2. **Horas de trabajo:** $30x + 50y \le 15000$. Simplificando entre 10: $3x + 5y \le 1500$.
3. **Relación entre tipos:** La cantidad de A ($x$) debe ser como mucho cinco veces la de B ($y$): $x \le 5y$.
4. **No negatividad:** Al tratarse de cantidades físicas, deben ser mayores o iguales a cero: $x \ge 0, y \ge 0$.
El sistema de restricciones es:
$$\begin{cases} 6x + 5y \le 2100 \\ 3x + 5y \le 1500 \\ x \le 5y \\ x \ge 0, y \ge 0 \end{cases}$$
💡 **Tip:** Simplificar las inecuaciones facilita mucho los cálculos posteriores de los puntos de corte.
Paso 3
Representación de la región factible
**a) Represente la región del plano determinada por las restricciones anteriores y determine las coordenadas de sus vértices.**
Para representar la región factible, dibujamos las rectas asociadas a cada restricción y determinamos el semiplano que cumplen:
- $r_1: 6x + 5y = 2100$ (Pasa por $(0, 420)$ y $(350, 0)$)
- $r_2: 3x + 5y = 1500$ (Pasa por $(0, 300)$ y $(500, 0)$)
- $r_3: x = 5y$ (Pasa por $(0, 0)$ y $(300, 60)$)
La región factible es el recinto cerrado cuyos vértices son los puntos de intersección que cumplen todas las inecuaciones.
Paso 4
Cálculo de los vértices de la región factible
Calculamos las coordenadas de los vértices resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes:
- **Vértice O:** Intersección de los ejes, $x=0, y=0 \implies \mathbf{O(0, 0)}$.
- **Vértice A:** Intersección de $r_1$ ($6x+5y=2100$) y $r_3$ ($x=5y$):
$$6(5y) + 5y = 2100 \implies 35y = 2100 \implies y = 60$$
$$x = 5(60) = 300 \implies \mathbf{A(300, 60)}$$
- **Vértice B:** Intersección de $r_1$ ($6x+5y=2100$) y $r_2$ ($3x+5y=1500$):
Restando las ecuaciones: $(6x+5y) - (3x+5y) = 2100 - 1500 \implies 3x = 600 \implies x = 200$
Sustituyendo $x=200$ en $r_2$: $3(200) + 5y = 1500 \implies 5y = 900 \implies y = 180 \implies \mathbf{B(200, 180)}$
- **Vértice C:** Intersección de $r_2$ ($3x+5y=1500$) y el eje $y$ ($x=0$):
$3(0) + 5y = 1500 \implies y = 300 \implies \mathbf{C(0, 300)}$
✅ **Resultado (Vértices):**
$$\boxed{O(0,0), \ A(300, 60), \ B(200, 180), \ C(0, 300)}$$
Paso 5
Cálculo del beneficio máximo
**b) Determine cuántos metros cúbicos de cada tipo deben elaborarse para, respetando las restricciones anteriores, maximizar el beneficio. Obtenga el valor del beneficio máximo.**
Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = 50x + 60y$ en cada uno de los vértices hallados:
- En $O(0, 0)$: $f(0, 0) = 50(0) + 60(0) = 0\text{ €}$
- En $A(300, 60)$: $f(300, 60) = 50(300) + 60(60) = 15000 + 3600 = 18600\text{ €}$
- En $B(200, 180)$: $f(200, 180) = 50(200) + 60(180) = 10000 + 10800 = 20800\text{ €}$
- En $C(0, 300)$: $f(0, 300) = 50(0) + 60(300) = 18000\text{ €}$
El valor máximo se alcanza en el punto $B(200, 180)$.
💡 **Tip:** Si la región factible es cerrada y acotada, el máximo y el mínimo siempre se encuentran en uno de los vértices (o en un segmento que los une).
Paso 6
Conclusión
Para maximizar el beneficio, el vivero debe elaborar **200 $m^3$ del tipo A** y **180 $m^3$ del tipo B**.
El beneficio máximo obtenido será de **20800 €**.
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{\text{200 } m^3 \text{ de A, 180 } m^3 \text{ de B. Beneficio: 20800 €}}$$