Continuidad, derivación e integración de una función a trozos

**a) (1 punto) Estudie los valores del parámetro $m \in \mathbb{R}$ para que $f(x)$ sea continua en $x = 1$ y calcule la derivada de la función para $x < 1$.** Para que la función sea continua en $x = 1$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función en ese punto: 1. **Valor de la función en $x=1$:** $$f(1) = 2m + \ln(1) = 2m + 0 = 2m$$ 2. **Límite por la izquierda ($x \to 1^-$):** Usamos la primera rama ($x < 1$): $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{6x}{2x^2 + 1} = \frac{6(1)}{2(1)^2 + 1} = \frac{6}{3} = 2$$ 3. **Límite por la derecha ($x \to 1^+$):** Usamos la segunda rama ($x \ge 1$): $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1} (2m + \ln x) = 2m + \ln(1) = 2m$$ Para que exista continuidad, no debe haber salto entre ramas, por lo que igualamos los límites: $$2m = 2 \implies m = \frac{2}{2} = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea continua en un punto $a$, se debe cumplir que $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$. ✅ **Resultado (continuidad):** $$\boxed{m = 1}$$

Para el intervalo $x < 1$, la función viene dada por el cociente: $$f(x) = \frac{6x}{2x^2 + 1}$$ Aplicamos la regla de la derivada de un cociente: $$f'(x) = \frac{(6x)' \cdot (2x^2 + 1) - (6x) \cdot (2x^2 + 1)'}{(2x^2 + 1)^2}$$ Calculamos las derivadas de numerador y denominador: - $(6x)' = 6$ - $(2x^2 + 1)' = 4x$ Sustituimos y operamos: $$f'(x) = \frac{6(2x^2 + 1) - 6x(4x)}{(2x^2 + 1)^2} = \frac{12x^2 + 6 - 24x^2}{(2x^2 + 1)^2} = \frac{6 - 12x^2}{(2x^2 + 1)^2}$$ 💡 **Tip:** La regla del cociente es $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. ✅ **Resultado (derivada):** $$\boxed{f'(x) = \frac{6 - 12x^2}{(2x^2 + 1)^2} \text{ para } x < 1}$$

**b) (1 punto) Halle el área de la región del plano limitada por la curva $y = f(x)$, las rectas $x = -1$ y $x = 0$ y el eje $OX$.** La región está comprendida entre $x = -1$ y $x = 0$. En todo este intervalo, $x < 1$, por lo que trabajamos con la rama: $$f(x) = \frac{6x}{2x^2 + 1}$$ Primero, comprobamos si la función corta al eje $OX$ en el intervalo $(-1, 0)$: $$\frac{6x}{2x^2 + 1} = 0 \implies 6x = 0 \implies x = 0$$ No hay puntos de corte dentro del intervalo, el único es un extremo. Analizamos el signo de la función en el intervalo $[-1, 0]$. Como el denominador $2x^2 + 1$ siempre es positivo, el signo depende del numerador $6x$. Para $x \in [-1, 0]$, $6x$ es negativo o cero. Por tanto, la función queda por debajo del eje $OX$. El área será el valor absoluto de la integral definida: $$Area = \left| \int_{-1}^{0} \frac{6x}{2x^2 + 1} dx \right| = - \int_{-1}^{0} \frac{6x}{2x^2 + 1} dx$$ 💡 **Tip:** Si la función es negativa en el intervalo $[a, b]$, el área es $-\int_a^b f(x) dx$.

Para resolver $\int \frac{6x}{2x^2 + 1} dx$, buscamos una primitiva del tipo logarítmico: $$\int \frac{g'(x)}{g(x)} dx = \ln|g(x)|$$ Si $g(x) = 2x^2 + 1$, su derivada es $g'(x) = 4x$. Ajustamos la constante: $$\int \frac{6x}{2x^2 + 1} dx = 6 \int \frac{x}{2x^2 + 1} dx = 6 \cdot \frac{1}{4} \int \frac{4x}{2x^2 + 1} dx = \frac{3}{2} \ln(2x^2 + 1)$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$Area = -\left[ \frac{3}{2} \ln(2x^2 + 1) \right]_{-1}^{0}$$ $$Area = -\left( \frac{3}{2} \ln(2(0)^2 + 1) - \frac{3}{2} \ln(2(-1)^2 + 1) \right)$$ $$Area = -\left( \frac{3}{2} \ln(1) - \frac{3}{2} \ln(3) \right)$$ $$Area = -\left( 0 - \frac{3}{2} \ln(3) \right) = \frac{3}{2} \ln(3) \text{ unidades}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\ln(1) = 0$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{Area = \frac{3}{2} \ln(3) \approx 1,6479 \text{ u}^2}$$