Cálculo de probabilidades y operaciones con sucesos

Para resolver ambos apartados, primero debemos extraer la información del enunciado y calcular la probabilidad de la intersección de los sucesos, $P(A \cap B)$, que es fundamental para operar con sucesos. Datos conocidos: - $P(A|B) = \dfrac{1}{4}$ - $P(B) = \dfrac{1}{6}$ - $P(A) = \dfrac{2}{3}$ Utilizamos la definición de **probabilidad condicionada**: $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \implies P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B)$$ Sustituimos los valores: $$P(A \cap B) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{24}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la fórmula de la probabilidad condicionada $P(A|B)$ nos permite despejar la intersección como el producto de la condición por el suceso que condiciona. $$\boxed{P(A \cap B) = \frac{1}{24}}$$

Para visualizar mejor todos los sucesos y sus complementarios, podemos construir una tabla de probabilidades (usando como denominador común $24$ para facilitar las sumas y restas): - $P(B) = \frac{4}{24} \implies P(\overline{B}) = 1 - \frac{4}{24} = \frac{20}{24}$ - $P(A) = \frac{16}{24} \implies P(\overline{A}) = 1 - \frac{16}{24} = \frac{8}{24}$ Calculamos las intersecciones restantes: - $P(A \cap B) = \frac{1}{24}$ - $P(\overline{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = \frac{4}{24} - \frac{1}{24} = \frac{3}{24}$ - $P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B) = \frac{16}{24} - \frac{1}{24} = \frac{15}{24}$ - $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{B}) - P(A \cap \overline{B}) = \frac{20}{24} - \frac{15}{24} = \frac{5}{24}$ $$\begin{array}{c|cc|c} & B & \overline{B} & \text{Total} \\ \hline A & 1/24 & 15/24 & 16/24 \\ \overline{A} & 3/24 & 5/24 & 8/24 \\ \hline \text{Total} & 4/24 & 20/24 & 24/24 \end{array}$$

**a) $P(A \cup \overline{B})$.** Utilizamos la fórmula de la **probabilidad de la unión** de dos sucesos: $$P(A \cup \overline{B}) = P(A) + P(\overline{B}) - P(A \cap \overline{B})$$ Ya conocemos los valores: - $P(A) = \dfrac{2}{3} = \dfrac{16}{24}$ - $P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6} = \dfrac{20}{24}$ - $P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B) = \dfrac{16}{24} - \dfrac{1}{24} = \dfrac{15}{24}$ Sustituimos en la fórmula: $$P(A \cup \overline{B}) = \frac{16}{24} + \frac{20}{24} - \frac{15}{24} = \frac{21}{24}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre $3$: $$\frac{21}{24} = \frac{7}{8}$$ 💡 **Tip:** Otra forma de calcularlo es mediante el complementario: $P(A \cup \overline{B}) = 1 - P(\overline{A \cup \overline{B}}) = 1 - P(\overline{A} \cap B)$. Como $P(\overline{A} \cap B) = 3/24$, entonces $1 - 3/24 = 21/24 = 7/8$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cup \overline{B}) = \frac{7}{8}}$$

**b) $P((\overline{A} \cap B) \cup (\overline{B} \cap A))$.** Este suceso representa la probabilidad de que ocurra **exactamente uno de los dos sucesos** (o ocurre $B$ pero no $A$, o ocurre $A$ pero no $B$). Al ser las intersecciones $(\overline{A} \cap B)$ y $(\overline{B} \cap A)$ sucesos incompatibles (disjuntos), la probabilidad de su unión es la suma de sus probabilidades. Calculamos cada término: 1. $P(\overline{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = \dfrac{4}{24} - \dfrac{1}{24} = \dfrac{3}{24}$ 2. $P(\overline{B} \cap A) = P(A) - P(A \cap B) = \dfrac{16}{24} - \dfrac{1}{24} = \dfrac{15}{24}$ Sumamos ambos resultados: $$P((\overline{A} \cap B) \cup (\overline{B} \cap A)) = \frac{3}{24} + \frac{15}{24} = \frac{18}{24}$$ Simplificamos dividiendo entre $6$: $$\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$$ 💡 **Tip:** Esta expresión también es equivalente a $P(A \cup B) - P(A \cap B)$. Si calculas $P(A \cup B) = 16/24 + 4/24 - 1/24 = 19/24$, verás que $19/24 - 1/24 = 18/24 = 3/4$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P((\overline{A} \cap B) \cup (\overline{B} \cap A)) = \frac{3}{4}}$$