Estimación de la media y distribución de la media muestral

**a) Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra aleatoria simple para que el error máximo cometido en la estimación de $\mu$ sea menor que $20\text{ g}$, con un nivel de confianza del $95\%$.** Primero, identificamos los datos del enunciado: - Distribución original: $X \sim N(\mu, 60)$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,95$. - Error máximo permitido: $E \lt 20$. Para un nivel de confianza del $95\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $\alpha = 1 - 0,95 = 0,05$. 2. $\alpha/2 = 0,025$. 3. Buscamos en la tabla de la normal $N(0, 1)$ el valor cuya probabilidad acumulada sea $1 - 0,025 = 0,975$. Consultando la tabla: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0,975 \implies z_{\alpha/2} = 1,96.$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2} = 1,96$ es el más habitual en los ejercicios de confianza del $95\%$. Conviene recordarlo.

La fórmula del error máximo cometido en la estimación de la media es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Queremos que el error sea menor que $20$, por lo que planteamos la inecuación: $$1,96 \cdot \frac{60}{\sqrt{n}} \lt 20$$ Multiplicamos y despejamos $\sqrt{n}$: $$\frac{117,6}{\sqrt{n}} \lt 20 \implies \frac{117,6}{20} \lt \sqrt{n} \implies 5,88 \lt \sqrt{n}$$ Elevamos al cuadrado ambos miembros para obtener $n$: $$n \gt 5,88^2 \implies n \gt 34,5744$$ Como el tamaño de la muestra $n$ debe ser un número entero, tomamos el primer entero superior. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 35}$$

**b) Suponiendo que se selecciona una muestra aleatoria simple de tamaño $n = 100$, calcule el valor de la media $\mu$ para que $P(\overline{X} \le 220) = 0,9940$.** Cuando tomamos muestras de tamaño $n$, la media muestral $\overline{X}$ sigue una distribución normal con la misma media $\mu$ que la población, pero con una desviación típica menor (llamada error típico): $$\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Sustituimos los datos conocidos ($n=100$ y $\sigma=60$): $$\sigma_{\overline{x}} = \frac{60}{\sqrt{100}} = \frac{60}{10} = 6$$ Por lo tanto: $$\overline{X} \sim N(\mu, 6)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al trabajar con medias muestrales, siempre debes dividir la desviación típica de la población por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra.

Para resolver la probabilidad $P(\overline{X} \le 220) = 0,9940$, debemos **tipificar** la variable para pasar a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$: $$P\left(Z \le \frac{220 - \mu}{6}\right) = 0,9940$$ Buscamos ahora en el interior de la tabla de la normal estándar el valor $0,9940$ para encontrar a qué valor de $z$ corresponde: En la tabla, observamos que para $z = 2,51$ la probabilidad es $0,99396$ (aproximadamente $0,9940$). Por lo tanto: $$\frac{220 - \mu}{6} = 2,51$$

Finalmente, despejamos $\mu$ de la ecuación obtenida: $$220 - \mu = 2,51 \cdot 6$$ $$220 - \mu = 15,06$$ $$\mu = 220 - 15,06$$ $$\mu = 204,94$$ El valor de la media poblacional para que se cumpla la probabilidad indicada es $204,94\text{ g}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\mu = 204,94\text{ g}}$$