Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) Discuta el sistema para los diferentes valores de $a$.** Primero, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -a & 0 \\ a & -4 & -1 \\ 2 & a & -1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & -a & 0 & 1 \\ a & -4 & -1 & 2 \\ 2 & a & -1 & a-4 \end{pmatrix}$$ Para discutir el sistema según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, calcularemos el determinante de la matriz $A$ para ver cuándo su rango es máximo.

Calculamos el determinante de $A$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -a & 0 \\ a & -4 & -1 \\ 2 & a & -1 \end{vmatrix} = [1\cdot(-4)\cdot(-1) + (-a)\cdot(-1)\cdot 2 + 0\cdot a\cdot a] - [0\cdot(-4)\cdot 2 + (-a)\cdot a\cdot(-1) + 1\cdot(-1)\cdot a]$$ $$|A| = [4 + 2a + 0] - [0 + a^2 - a]$$ $$|A| = 4 + 2a - a^2 + a = -a^2 + 3a + 4$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $a$: $$-a^2 + 3a + 4 = 0 \implies a^2 - 3a - 4 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}$$ Obtenemos los valores: **$a = 4$** y **$a = -1$**. 💡 **Tip:** El determinante de una matriz $3 \times 3$ nos indica si el rango es 3. Si $|A| \neq 0$, el rango es 3.

**Caso 1: $a \neq 4$ y $a \neq -1$** Si $a$ es distinto de $4$ y $-1$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que: $$\text{rg}(A) = 3$$ Como el rango de la matriz ampliada $A^*$ no puede ser mayor que 3 (el número de filas) y el número de incógnitas es 3, tenemos: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = \text{nº de incógnitas}$$ Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**, es decir, tiene una solución única. $$\boxed{\text{Si } a \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 4\} \implies \text{SCD}}$$

**Caso 2: $a = 4$** Sustituimos $a = 4$ en las matrices: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -4 & 0 \\ 4 & -4 & -1 \\ 2 & 4 & -1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & -4 & 0 & 1 \\ 4 & -4 & -1 & 2 \\ 2 & 4 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & -4 \\ 4 & -4 \end{vmatrix} = -4 - (-16) = 12 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$. Tomamos el menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & -4 & 1 \\ 4 & -4 & 2 \\ 2 & 4 & 0 \end{vmatrix} = (0 - 16 + 16) - (-8 + 8 + 0) = 0 - 0 = 0$$ Tomamos el menor formado por las columnas 1, 3 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 4 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & 0 \end{vmatrix} = (0 + 0 - 4) - (-2 - 2 + 0) = -4 + 4 = 0$$ Como todos los menores de orden 3 de $A^*$ son cero, $\text{rg}(A^*) = 2$. Al ser $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt \text{nº de incógnitas}$, el sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)** (infinitas soluciones). $$\boxed{\text{Si } a = 4 \implies \text{SCI}}$$

**Caso 3: $a = -1$** Sustituimos $a = -1$ en las matrices: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & -4 & -1 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & -4 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & -1 & -5 \end{pmatrix}$$ Como $|A| = 0$, $\text{rg}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -4 \end{vmatrix} = -4 - (-1) = -3 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Estudiamos el rango de $A^*$. Tomamos el menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & -4 & 2 \\ 2 & -1 & -5 \end{vmatrix} = (20 + 4 + 1) - (-8 - 2 - 5) = 25 - (-15) = 40 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, $\text{rg}(A^*) = 3$. Dado que $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, el sistema es **Sistema Incompatible (SI)** (no tiene solución). $$\boxed{\text{Si } a = -1 \implies \text{SI}}$$

**b) Resuelva el sistema para $a = 3$.** Como $a = 3$ no es $-1$ ni $4$, el sistema es SCD. Sustituimos $a=3$: $$\left. \begin{array}{rcl} x - 3y & = & 1 \\ 3x - 4y - z & = & 2 \\ 2x + 3y - z & = & -1 \end{array} \right\}$$ Calculamos el determinante de $A$ para $a = 3$: $$|A| = -(3)^2 + 3(3) + 4 = -9 + 9 + 4 = 4$$ Resolvemos mediante la **Regla de Cramer**: $$x = \frac{\begin{vmatrix} 1 & -3 & 0 \\ 2 & -4 & -1 \\ -1 & 3 & -1 \end{vmatrix}}{4} = \frac{(4 - 3 + 0) - (0 - 3 + 6)}{4} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$$ $$y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & -1 \end{vmatrix}}{4} = \frac{(-2 - 2 + 0) - (0 + 1 - 3)}{4} = \frac{-4 - (-2)}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$$ $$z = \frac{\begin{vmatrix} 1 & -3 & 1 \\ 3 & -4 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix}}{4} = \frac{(4 - 12 + 9) - (-8 + 6 + 9)}{4} = \frac{1 - 7}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = -\frac{1}{2}, \; y = -\frac{1}{2}, \; z = -\frac{3}{2}}$$