Estudio de una función racional con parámetros

**a) Calcule el valor del parámetro $a \in \mathbb{R}$ para que $f(x)$ tenga una asíntota horizontal en $y = -1$.** Recordamos que una función tiene una asíntota horizontal en $y = L$ si el límite de la función cuando $x$ tiende a infinito es igual a ese valor $L$: $$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$$ En nuestro caso, queremos que la asíntota sea $y = -1$, por lo que calculamos el límite de la función: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{ax^2 - 3}{x^2 - 5} = -1$$ Como el grado del numerador y del denominador es el mismo ($2$), el límite es el cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{ax^2 - 3}{x^2 - 5} = \frac{a}{1} = a$$ Igualamos el resultado al valor de la asíntota deseada: $$a = -1$$ 💡 **Tip:** Si los grados de los polinomios son iguales, el límite al infinito es el cociente de los coeficientes de mayor grado. Si el grado del numerador fuera menor, el límite sería $0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -1}$$

**b) Para $a = 1$, halle los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ y los extremos relativos, si existen.** Sustituimos $a = 1$ en la función: $$f(x) = \frac{x^2 - 3}{x^2 - 5}$$ Para estudiar la monotonía, primero calculamos el dominio. El denominador se anula en $x^2 - 5 = 0 \implies x = \pm\sqrt{5}$. Por tanto, $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{5}, \sqrt{5}\}$. Calculamos la primera derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(x^2-3)'(x^2-5) - (x^2-3)(x^2-5)'}{(x^2-5)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2x(x^2 - 5) - (x^2 - 3)(2x)}{(x^2 - 5)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2x^3 - 10x - (2x^3 - 6x)}{(x^2 - 5)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2x^3 - 10x - 2x^3 + 6x}{(x^2 - 5)^2}$$ $$f'(x) = \frac{-4x}{(x^2 - 5)^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla del cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. En funciones racionales, el signo de la derivada suele depender solo del numerador si el denominador está al cuadrado.

Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies \frac{-4x}{(x^2 - 5)^2} = 0 \implies -4x = 0 \implies x = 0$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos de discontinuidad ($x = \pm\sqrt{5}$) y el punto crítico ($x = 0$): $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -\sqrt{5}) & -\sqrt{5} & (-\sqrt{5}, 0) & 0 & (0, \sqrt{5}) & \sqrt{5} & (\sqrt{5}, +\infty) \\\hline f'(x) & + & \nexists & + & 0 & - & \nexists & - \\\hline f(x) & \nearrow & \nexists & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \nexists & \searrow \end{array}$$ - En $(-\infty, -\sqrt{5})$ y $(-\sqrt{5}, 0)$, $f'(x) \gt 0$, luego la función es **creciente**. - En $(0, \sqrt{5})$ y $(\sqrt{5}, +\infty)$, $f'(x) \lt 0$, luego la función es **decreciente**. En $x=0$, la derivada cambia de signo de positivo a negativo, por lo que hay un **máximo relativo**. Calculamos su ordenada: $f(0) = \frac{0^2 - 3}{0^2 - 5} = \frac{-3}{-5} = \frac{3}{5}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Crecimiento: } (-\infty, -\sqrt{5}) \cup (-\sqrt{5}, 0) \\ &\text{Decrecimiento: } (0, \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}, +\infty) \\ &\text{Máximo relativo en: } (0, 0.6) \end{aligned}}$$