Recta tangente e integración de una función exponencial

**a) (1 punto) Determine la ecuación de la recta tangente a $f(x)$ en $x = 0$.** Para hallar la ecuación de la recta tangente en un punto $x=a$, necesitamos conocer el valor de la función en ese punto, $f(a)$, y el valor de su derivada, $f'(a)$, que representa la pendiente de la tangente. 1. **Calculamos la ordenada del punto** sustituyendo $x=0$ en $f(x)$: $$f(0) = e^{2(0)} + 0 = e^0 + 0 = 1.$$ El punto de tangencia es **$(0, 1)$**. 2. **Calculamos la función derivada $f'(x)$**: La derivada de $e^{u}$ es $u' \cdot e^u$ y la derivada de $x$ es $1$. $$f'(x) = 2e^{2x} + 1.$$ 3. **Calculamos la pendiente ($m$)** evaluando la derivada en $x=0$: $$m = f'(0) = 2e^{2(0)} + 1 = 2(1) + 1 = 3.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es el valor de la derivada en dicho punto.

Utilizamos la fórmula de la recta en su forma punto-pendiente: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ Sustituimos los valores obtenidos ($a=0$, $f(0)=1$, $f'(0)=3$): $$y - 1 = 3(x - 0)$$ $$y - 1 = 3x$$ Despejamos la $y$ para obtener la ecuación explícita: $$y = 3x + 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = 3x + 1}$$

**b) (1 punto) Calcule $\int_0^1 f(x) dx$.** Para resolver la integral definida, primero debemos encontrar una función primitiva $F(x) = \int (e^{2x} + x) dx$. Podemos separar la integral en dos partes debido a la propiedad de linealidad: $$\int (e^{2x} + x) dx = \int e^{2x} dx + \int x dx$$ - Para $\int e^{2x} dx$: Es una integral casi inmediata de tipo exponencial. Como la derivada del exponente ($2x$) es $2$, ajustamos multiplicando y dividiendo por $2$: $$\int e^{2x} dx = \frac{1}{2} \int 2e^{2x} dx = \frac{1}{2} e^{2x}$$ - Para $\int x dx$: Aplicamos la regla de la potencia: $$\int x dx = \frac{x^2}{2}$$ Por tanto, la primitiva es: $$F(x) = \frac{e^{2x}}{2} + \frac{x^2}{2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la integral de una suma es la suma de las integrales: $\int (u+v) dx = \int u dx + \int v dx$.

Ahora aplicamos la Regla de Barrow para evaluar la integral definida en el intervalo $[0, 1]$: $$\int_0^1 (e^{2x} + x) dx = \left[ \frac{e^{2x}}{2} + \frac{x^2}{2} \right]_0^1$$ Sustituimos primero el límite superior ($x=1$) y restamos el valor en el límite inferior ($x=0$): $$\text{Para } x=1: F(1) = \frac{e^{2(1)}}{2} + \frac{1^2}{2} = \frac{e^2}{2} + \frac{1}{2}$$ $$\text{Para } x=0: F(0) = \frac{e^{2(0)}}{2} + \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2}$$ Calculamos la diferencia: $$\int_0^1 f(x) dx = \left( \frac{e^2}{2} + \frac{1}{2} \right) - \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{e^2}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{e^2}{2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int_0^1 f(x) dx = \frac{e^2}{2} \approx 3.694}$$