Probabilidad condicionada y teorema de la probabilidad total

**a) Sea el examen de un alumno.** Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema: - $A$: El examen está escrito en azul. - $N$: El examen está escrito en negro. - $M$: El examen es de una alumna (mujer). - $H$: El examen es de un alumno (hombre). Del enunciado extraemos los siguientes datos: - $P(A) = \dfrac{2}{3}$ - Por tanto, la probabilidad de que sea negro es el suceso contrario: $P(N) = 1 - P(A) = 1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$. - La probabilidad de que sea de una alumna sabiendo que es azul: $P(M|A) = 0,7$. - Por tanto, sabiendo que es azul, que sea de un alumno es: $P(H|A) = 1 - 0,7 = 0,3$. - La probabilidad de que sea negro y de un alumno (intersección): $P(N \cap H) = 0,2$. 💡 **Tip:** En problemas de probabilidad con varias etapas (color y género), un árbol de probabilidad es la mejor herramienta para visualizar todos los casos posibles. Representamos los datos en un diagrama de árbol:

Para calcular $P(H)$ utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Un alumno puede haber entregado el examen en azul o en negro. $$P(H) = P(A \cap H) + P(N \cap H)$$ Calculamos primero la intersección de azul y alumno usando la probabilidad condicionada: $$P(A \cap H) = P(A) \cdot P(H|A) = \dfrac{2}{3} \cdot 0,3 = \dfrac{2 \cdot 0,3}{3} = \dfrac{0,6}{3} = 0,2$$ Ahora sumamos el dato que ya teníamos para el color negro: $$P(H) = 0,2 + 0,2 = 0,4$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{P(H) = 0,4}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$. Es la probabilidad de seguir una rama completa del árbol.

**b) Sabiendo que está escrito en negro, sea de un alumno.** Nos piden calcular la probabilidad de que sea un alumno condicionado a que el examen es negro, es decir, $P(H|N)$. Aplicamos la fórmula de la **probabilidad condicionada**: $$P(H|N) = \dfrac{P(H \cap N)}{P(N)}$$ Sustituimos los valores conocidos: - $P(H \cap N) = 0,2$ (dato directo del enunciado). - $P(N) = \dfrac{1}{3}$ (calculado en el paso 1). $$P(H|N) = \dfrac{0,2}{1/3} = 0,2 \cdot 3 = 0,6$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{P(H|N) = 0,6}$$ 💡 **Tip:** No confundas $P(H \cap N)$ (la probabilidad de que ocurran ambas cosas a la vez sobre el total) con $P(H|N)$ (la probabilidad de ser alumno dentro del grupo reducido de los que escriben en negro).