Inferencia estadística: Intervalos de confianza y distribución de la media muestral

**a) Utilizando la información de una muestra aleatoria simple, se ha obtenido el intervalo de confianza $(26,9, 37,1)$, expresado en minutos, para estimar el tiempo medio que tarda en realizar el recorrido, $\mu$, con un nivel de confianza del $98,92\%$. Obtenga el tamaño de la muestra elegida y el valor de la media muestral.** Sea $X$ la variable aleatoria que representa el tiempo que camina la persona, donde $X \sim N(\mu, 10)$. El intervalo de confianza para la media de una población normal con desviación típica conocida $\sigma$ es: $$IC = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$$ La media muestral $\bar{x}$ es siempre el punto medio del intervalo de confianza. Por tanto: $$\bar{x} = \frac{26,9 + 37,1}{2} = \frac{64}{32} = 32$$ 💡 **Tip:** En cualquier intervalo de confianza para la media, la media muestral se encuentra exactamente en el centro del intervalo. $$\boxed{\bar{x} = 32 \text{ minutos}}$$

Para encontrar el tamaño de la muestra, primero necesitamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ asociado al nivel de confianza dado del $98,92\%$. 1. Nivel de confianza $1 - \alpha = 0,9892$. 2. Calculamos $\alpha = 1 - 0,9892 = 0,0108$. 3. Calculamos $\alpha/2 = 0,0054$. 4. El valor de la probabilidad acumulada es $1 - \alpha/2 = 1 - 0,0054 = 0,9946$. Buscamos el valor $0,9946$ en el interior de la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$: $$p(Z \le z_{\alpha/2}) = 0,9946 \implies z_{\alpha/2} = 2,55$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es el valor que deja a su derecha un área de $\alpha/2$. En las tablas estándar, buscamos el valor cuya probabilidad acumulada sea $1-\alpha/2$. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2,55}$$

El error máximo admisible $E$ es la mitad de la amplitud del intervalo: $$E = \frac{37,1 - 26,9}{2} = \frac{10,2}{2} = 5,1$$ La fórmula del error es $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Sustituimos los valores conocidos ($\sigma = 10$, $z_{\alpha/2} = 2,55$, $E = 5,1$): $$5,1 = 2,55 \cdot \frac{10}{\sqrt{n}}$$ $$5,1 = \frac{25,5}{\sqrt{n}}$$ $$\sqrt{n} = \frac{25,5}{5,1} = 5$$ $$n = 5^2 = 25$$ 💡 **Tip:** Si el resultado de $n$ no fuera un número entero, siempre se debe redondear hacia arriba para garantizar que el error sea menor o igual al valor dado. ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{\bar{x} = 32 \text{ minutos}, \quad n = 25 \text{ días}}$$

**b) Si el tiempo medio para completar el recorrido es $\mu = 30$ minutos, calcule la probabilidad de que, en una muestra de $16$ días elegidos al azar, esta persona tarde entre $25$ y $35$ minutos de media para completar el recorrido.** Sabemos que la variable individual es $X \sim N(30, 10)$. Para una muestra de tamaño $n=16$, la distribución de la media muestral $\bar{X}$ sigue una distribución normal: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Calculamos la nueva desviación típica (error estándar): $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{10}{\sqrt{16}} = \frac{10}{4} = 2,5$$ Por tanto, $\bar{X} \sim N(30, \; 2,5)$. Queremos calcular $P(25 \le \bar{X} \le 35)$. 💡 **Tip:** No confundas la desviación típica de la población ($\sigma$) con la desviación típica de la media muestral ($\sigma/\sqrt{n}$).

Tipificamos la variable para pasar a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ usando $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{x}}}$: $$P(25 \le \bar{X} \le 35) = P\left(\frac{25 - 30}{2,5} \le Z \le \frac{35 - 30}{2,5}\right)$$ $$= P\left(\frac{-5}{2,5} \le Z \le \frac{5}{2,5}\right) = P(-2 \le Z \le 2)$$ Calculamos la probabilidad usando las propiedades de la normal: $$P(-2 \le Z \le 2) = p(Z \le 2) - p(Z \le -2)$$ $$= p(Z \le 2) - [1 - p(Z \le 2)] = 2 \cdot p(Z \le 2) - 1$$ Buscamos en la tabla el valor de $p(Z \le 2) = 0,9772$: $$2 \cdot 0,9772 - 1 = 1,9544 - 1 = 0,9544$$ 💡 **Tip:** La probabilidad de que una variable normal esté en un intervalo simétrico respecto a la media $(\mu - k\sigma, \mu + k\sigma)$ siempre se puede simplificar como $2 \cdot p(Z \le k) - 1$. ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{P(25 \le \bar{X} \le 35) = 0,9544}$$