Discusión de un sistema con parámetro real

**a) Discuta el sistema en función de los valores del parámetro $a$.** Primero, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$. Identificamos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$): $$A = \begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & a & a+1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & a & 0 & \big| & 0 \\ 1 & 0 & 2 & \big| & 0 \\ 1 & a & a+1 & \big| & a \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para discutir un sistema con parámetros, el primer paso es calcular el determinante de la matriz de coeficientes para saber cuándo es regular (rango máximo).

Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & a & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & a & a+1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1 \cdot 0 \cdot (a+1) + a \cdot 2 \cdot 1 + 0 \cdot 1 \cdot a] - [0 \cdot 0 \cdot 1 + a \cdot 1 \cdot (a+1) + 1 \cdot 2 \cdot a]$$ $$|A| = [0 + 2a + 0] - [0 + a^2 + a + 2a]$$ $$|A| = 2a - (a^2 + 3a) = -a^2 - a$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $a$: $$-a^2 - a = 0 \implies -a(a + 1) = 0$$ Esto nos da dos valores: **$a = 0$** y **$a = -1$**. $$\boxed{|A| = 0 \iff a = 0, a = -1}$$

Si $a \neq 0$ y $a \neq -1$, el determinante de $A$ es distinto de cero ($|A| \neq 0$). - Por tanto, el rango de $A$ es $3$: $\text{rg}(A) = 3$. - Como la matriz ampliada $A^*$ es de dimensión $3 \times 4$, su rango máximo también es $3$, por lo que $\text{rg}(A^*) = 3$. - El número de incógnitas es $n = 3$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, al ser $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = n = 3$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 0, -1: \text{ Sistema Compatible Determinado (SCD)}}$$

Si $a = 0$, sustituimos en las matrices: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \big| & 0 \\ 1 & 0 & 2 & \big| & 0 \\ 1 & 0 & 1 & \big| & 0 \end{pmatrix}$$ - Ya sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden $2$ distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ - Observamos que la última columna de $A^*$ es nula (sistema homogéneo en este caso), por lo que añadirla no aumenta el rango: $\text{rg}(A^*) = 2$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt n = 3$, por el **Teorema de Rouché-Frobenius**: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 0: \text{ Sistema Compatible Indeterminado (SCI)}}$$

Si $a = -1$, sustituimos en las matrices: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & \big| & 0 \\ 1 & 0 & 2 & \big| & 0 \\ 1 & -1 & 0 & \big| & -1 \end{pmatrix}$$ - En $A$, las filas 1 y 3 son iguales, por lo que $\text{rg}(A) \lt 3$. Tomamos un menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - (-1) = 1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ - Para calcular $\text{rg}(A^*)$, orlamos el menor anterior con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = [0 + 0 + 0] - [0 + 0 + 1] = -1 \neq 0 \implies \text{rg}(A^*) = 3$$ Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, por el **Teorema de Rouché-Frobenius**: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = -1: \text{ Sistema Incompatible (SI)}}$$

**b) Resuelva el sistema para $a = 0$.** Como vimos en el apartado anterior, para $a = 0$ el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. El sistema original se reduce a: $$\left. \begin{array}{rcl} x & = & 0 \\ x + 2z & = & 0 \\ x + z & = & 0 \end{array} \right\}$$ - De la primera ecuación: **$x = 0$**. - Sustituyendo en la segunda: $0 + 2z = 0 \implies 2z = 0 \implies **z = 0$**. - La variable $y$ no aparece en ninguna ecuación con coeficiente distinto de cero (sus coeficientes son $a=0$). Por tanto, $y$ puede tomar cualquier valor real. Llamamos $y = \lambda$, donde $\lambda \in \mathbb{R}$. 💡 **Tip:** En un sistema SCI con $\text{rg}=2$ y $3$ incógnitas, necesitamos usar $3-2=1$ parámetro. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Solución: } (x, y, z) = (0, \lambda, 0) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$