Estudio de dominio, continuidad y asíntotas de una función racional

**a) Calcule el dominio de la función y obtenga el valor que hay que asignar a $f(x)$ en $x = 0$ para que la función anterior sea continua en este punto.** Para calcular el dominio de una función racional, debemos identificar los valores que anulan el denominador, ya que la división por cero no está definida. Igualamos el denominador a cero: $$3x + x^2 = 0$$ Factorizamos la expresión: $$x(3 + x) = 0$$ De aquí obtenemos dos soluciones: 1. $x = 0$ 2. $3 + x = 0 \implies x = -3$ Por lo tanto, el dominio de la función es todo el conjunto de los números reales excepto estos dos puntos. 💡 **Tip:** El dominio de una función racional $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ es $\mathbb{R} \setminus \{x \in \mathbb{R} \mid Q(x) = 0\}$. ✅ **Resultado (Dominio):** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-3, 0\}}$$

Para que la función sea continua en $x = 0$, se debe cumplir que el límite de la función cuando $x$ tiende a $0$ exista y sea igual al valor asignado a la función en ese punto, es decir: $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$. Calculamos el límite: $$\lim_{x \to 0} \left( \frac{4x - x^3}{3x + x^2} + 4 \right)$$ Si sustituimos directamente $x=0$ en la fracción, obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$. Para resolverla, factorizamos el numerador y el denominador para simplificar la $x$: $$\lim_{x \to 0} \frac{x(4 - x^2)}{x(3 + x)} + 4 = \lim_{x \to 0} \frac{4 - x^2}{3 + x} + 4$$ Ahora sustituimos $x = 0$: $$\frac{4 - 0^2}{3 + 0} + 4 = \frac{4}{3} + 4 = \frac{4 + 12}{3} = \frac{16}{3}$$ Por tanto, para que sea continua en dicho punto, debemos asignar a $f(0)$ el valor del límite. ✅ **Resultado (Valor en x = 0):** $$\boxed{f(0) = \frac{16}{3}}$$

**b) Obtenga las asíntotas de esta función en caso de que existan.** Las asíntotas verticales se encuentran en los puntos que no pertenecen al dominio donde el límite de la función tiende a infinito. Ya hemos visto que en $x = 0$ el límite es finito ($\frac{16}{3}$), por lo que allí no hay una asíntota vertical (hay una discontinuidad evitable). Comprobamos en $x = -3$: $$\lim_{x \to -3} \left( \frac{4x - x^3}{3x + x^2} + 4 \right)$$ Sustituimos $x = -3$ en el numerador de la fracción: $4(-3) - (-3)^3 = -12 + 27 = 15$. Sustituimos en el denominador: $3(-3) + (-3)^2 = -9 + 9 = 0$. Como el límite es del tipo $\frac{15}{0}$, el resultado es $\infty$ (estrictamente habría que estudiar los límites laterales para ver el signo, pero esto confirma la existencia de la asíntota). 💡 **Tip:** Si $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$, entonces $x = a$ es una asíntota vertical. ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{x = -3}$$

Buscamos el límite de la función cuando $x$ tiende a infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{4x - x^3}{3x + x^2} + 4 \right)$$ En la fracción $\frac{-x^3 + 4x}{x^2 + 3x}$, el grado del numerador ($3$) es mayor que el grado del denominador ($2$). Por lo tanto, el límite será $\pm\infty$. $$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \infty$$ Al no ser el límite un valor real finito, concluimos que no existen asíntotas horizontales. ✅ **Resultado (AH):** $$\boxed{\text{No hay asíntotas horizontales}}$$

Puesto que el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el del denominador, existe una asíntota oblicua de la forma $y = mx + n$. Calculamos la pendiente $m$: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{4x - x^3}{x(3x + x^2)} + \frac{4}{x} \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{-x^3 + 4x}{x^3 + 3x^2} + 0 = -1$$ Calculamos la ordenada en el origen $n$: $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{4x - x^3}{3x + x^2} + 4 - (-1)x \right)$$ $$n = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{4x - x^3 + x(3x + x^2)}{3x + x^2} + 4 \right) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{4x - x^3 + 3x^2 + x^3}{3x + x^2} + 4 \right)$$ $$n = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{3x^2 + 4x}{x^2 + 3x} + 4 \right) = 3 + 4 = 7$$ La ecuación de la asíntota oblicua es $y = -x + 7$. 💡 **Tip:** También se puede obtener $m$ y $n$ realizando la división polinómica del numerador entre el denominador. ✅ **Resultado (AO):** $$\boxed{y = -x + 7}$$