Recta tangente y cálculo de áreas con integrales

**a) (1 punto) Determine la ecuación de la recta tangente a $f(x)$ en el punto de abscisa $x = -1$.** Para hallar la ecuación de la recta tangente en $x = a$, utilizamos la fórmula punto-pendiente: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ En este caso, $a = -1$. Primero, calculamos la imagen de la función en ese punto, $f(-1)$: $$f(-1) = -(-1)^4 + (-1)^3 + 2(-1)^2 = -(1) + (-1) + 2(1) = -1 - 1 + 2 = 0$$ Luego, calculamos la derivada general de la función: $$f'(x) = -4x^3 + 3x^2 + 4x$$ Ahora, calculamos la pendiente de la tangente evaluando la derivada en $x = -1$: $$m = f'(-1) = -4(-1)^3 + 3(-1)^2 + 4(-1) = -4(-1) + 3(1) - 4 = 4 + 3 - 4 = 3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una función en un punto nos da la pendiente de la recta tangente en dicho punto.

Sustituimos el punto $(-1, 0)$ y la pendiente $m = 3$ en la ecuación de la recta: $$y - 0 = 3(x - (-1))$$ $$y = 3(x + 1)$$ $$y = 3x + 3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = 3x + 3}$$

**b) (1 punto) Obtenga el área del recinto acotado delimitado por la función $f(x)$ y el eje de abscisas para valores de $x > 0$.** Para calcular el área, primero debemos encontrar los puntos donde la función corta al eje $X$ (donde $f(x) = 0$) para delimitar el recinto de integración en el intervalo $x \gt 0$. $$-x^4 + x^3 + 2x^2 = 0$$ Factorizamos extrayendo factor común $-x^2$: $$-x^2(x^2 - x - 2) = 0$$ De aquí obtenemos: 1. $-x^2 = 0 \implies x = 0$ 2. Resolvemos la ecuación de segundo grado $x^2 - x - 2 = 0$: $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Esto nos da las raíces $x = 2$ y $x = -1$. Como el enunciado nos pide el recinto para **$x \gt 0$**, los límites de integración serán **$x = 0$** y **$x = 2$**. 💡 **Tip:** Al buscar áreas, siempre es fundamental hallar las raíces de la función para saber en qué intervalos integrar.

El área se calcula mediante la integral definida de la función entre los límites hallados. Como en el intervalo $(0, 2)$ la función es positiva (por ejemplo, $f(1) = -1 + 1 + 2 = 2 \gt 0$), el área es simplemente la integral: $$A = \int_{0}^{2} (-x^4 + x^3 + 2x^2) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$F(x) = \int (-x^4 + x^3 + 2x^2) \, dx = -\frac{x^5}{5} + \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3}$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = \left[ -\frac{x^5}{5} + \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{2}$$ $$A = \left( -\frac{2^5}{5} + \frac{2^4}{4} + \frac{2 \cdot 2^3}{3} \right) - (0)$$ $$A = -\frac{32}{5} + \frac{16}{4} + \frac{16}{3} = -\frac{32}{5} + 4 + \frac{16}{3}$$ Buscamos el común denominador (15): $$A = \frac{-96 + 60 + 80}{15} = \frac{44}{15} \text{ unidades}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{44}{15} \approx 2,933 \text{ u}^2}$$