Probabilidad de lluvia en excursiones de senderismo

Para resolver este problema, primero definimos los sucesos principales basados en el destino de la excursión y el hecho de si llueve o no. Sean los sucesos: - $C$: El socio va al nacimiento del río Cuervo. - $H$: El socio va a las Hoces del río Duratón. - $L$: El socio va al Cañón del río Lobos. - $R$: En la zona de la excursión llueve. - $\bar{R}$: En la zona de la excursión no llueve. Extraemos los datos de las probabilidades del enunciado: - $P(C) = 0,40$ - $P(H) = 0,35$ - $P(L) = 1 - (0,40 + 0,35) = 1 - 0,75 = 0,25$ Las probabilidades condicionadas de lluvia son: - $P(R|C) = 0,5 \implies P(\bar{R}|C) = 1 - 0,5 = 0,5$ - $P(R|H) = 0,6 \implies P(\bar{R}|H) = 1 - 0,6 = 0,4$ - $P(R|L) = 0,45 \implies P(\bar{R}|L) = 1 - 0,45 = 0,55$ 💡 **Tip:** En un diagrama de árbol, la suma de las probabilidades que parten de un mismo nodo siempre debe ser $1$.

**a) Calcule la probabilidad de que en su excursión no llueva.** Para calcular la probabilidad de que no llueva, $P(\bar{R})$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, sumando las probabilidades de que no llueva en cada uno de los tres posibles destinos: $$P(\bar{R}) = P(C) \cdot P(\bar{R}|C) + P(H) \cdot P(\bar{R}|H) + P(L) \cdot P(\bar{R}|L)$$ Sustituimos los valores obtenidos en el paso anterior: $$P(\bar{R}) = (0,40 \cdot 0,5) + (0,35 \cdot 0,4) + (0,25 \cdot 0,55)$$ Realizamos los cálculos intermedios: - $0,40 \cdot 0,5 = 0,2$ - $0,35 \cdot 0,4 = 0,14$ - $0,25 \cdot 0,55 = 0,1375$ Sumamos los resultados: $$P(\bar{R}) = 0,2 + 0,14 + 0,1375 = 0,4775$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{no llueva}) = 0,4775}$$

**b) Si en la excursión realizada por este socio ha llovido, ¿cuál es la probabilidad de que este socio haya ido al nacimiento del río Cuervo?** Se nos pide calcular una probabilidad a posteriori, es decir, sabiendo que ha ocurrido el evento "llover" ($R$), cuál es la probabilidad de que el destino fuera el río Cuervo ($C$). Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(C|R) = \frac{P(C \cap R)}{P(R)} = \frac{P(C) \cdot P(R|C)}{P(R)}$$ Primero, calculamos $P(R)$. Como sabemos que $P(\bar{R}) = 0,4775$, la probabilidad de que llueva es el suceso complementario: $$P(R) = 1 - P(\bar{R}) = 1 - 0,4775 = 0,5225$$ Ahora calculamos la probabilidad de la intersección (ir al Cuervo y que llueva): $$P(C \cap R) = P(C) \cdot P(R|C) = 0,40 \cdot 0,5 = 0,2$$ Finalmente, aplicamos la fórmula de Bayes: $$P(C|R) = \frac{0,2}{0,5225} \approx 0,38277...$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa siempre que nos dan el resultado final (ha llovido) y nos preguntan por la causa original (destino). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C|R) \approx 0,3828}$$