Estimación de la media y suma de variables normales

**a) Obtenga el número mínimo de bolígrafos que deberían seleccionarse en una muestra aleatoria simple para que el error máximo cometido en la estimación de $\mu$ por la media muestral, sea como mucho $0,05\text{ km}$ con un nivel de confianza del $95,44\%$.** Primero, identificamos la variable y los parámetros conocidos: - Longitud de escritura: $X \sim N(\mu, 0,5)$. Por tanto, $\sigma = 0,5$. - Error máximo permitido: $E = 0,05$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,9544$. Calculamos el valor crítico $Z_{\alpha/2}$ correspondiente al $95,44\%$: 1. Hallamos $\alpha$: $1 - 0,9544 = 0,0456$. 2. Dividimos entre dos: $\alpha/2 = 0,0228$. 3. Buscamos el valor en la tabla de la normal tal que $P(Z \le Z_{\alpha/2}) = 1 - 0,0228 = 0,9772$. Si buscamos $0,9772$ en el interior de la tabla de la normal $N(0, 1)$, encontramos que corresponde exactamente a: $$Z_{\alpha/2} = 2,00$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $Z_{\alpha/2}$ es el valor que deja a su derecha una probabilidad de $\alpha/2$. En este caso, al ser un nivel de confianza muy específico ($95,44\%$ es exactamente 2 desviaciones típicas), el valor es entero.

Utilizamos la fórmula del error máximo para la media muestral: $$E = Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Queremos que el error sea como mucho $0,05$, por lo que planteamos la inecuación: $$0,05 \ge 2 \cdot \frac{0,5}{\sqrt{n}}$$ Despejamos $n$ paso a paso: $$0,05 \ge \frac{1}{\sqrt{n}}$$ $$\sqrt{n} \ge \frac{1}{0,05}$$ $$\sqrt{n} \ge 20$$ $$n \ge 20^2$$ $$n \ge 400$$ Por tanto, el número mínimo de bolígrafos necesarios es $400$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 400 \text{ bolígrafos}}$$

**b) Si la longitud media de escritura, $\mu$, es la anunciada en la publicidad, calcule la probabilidad de que, con una muestra de $16$ bolígrafos elegidos al azar, se puedan escribir más de $30\text{ km}$.** En este apartado, nos dicen que $\mu = 2$. Tenemos una muestra de $n = 16$ bolígrafos. Queremos calcular la probabilidad de que la suma de sus longitudes sea mayor que $30$. Sea $X_i \sim N(2; 0,5)$ la longitud de cada bolígrafo. La suma de las longitudes de los 16 bolígrafos es una nueva variable $S = \sum_{i=1}^{16} X_i$. La distribución de la suma de variables normales independientes sigue siendo una normal con: - Media: $\mu_S = n \cdot \mu = 16 \cdot 2 = 32 \text{ km}$. - Desviación típica: $\sigma_S = \sigma \cdot \sqrt{n} = 0,5 \cdot \sqrt{16} = 0,5 \cdot 4 = 2 \text{ km}$. Por lo tanto, la variable suma se distribuye como: $$S \sim N(32, 2)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si $X \sim N(\mu, \sigma)$, entonces la suma de $n$ variables independientes sigue $N(n\mu, \sigma\sqrt{n})$.

Queremos calcular $P(S \gt 30)$. Para ello, tipificamos la variable $S$ para pasar a una $Z \sim N(0, 1)$: $$P(S \gt 30) = P\left( Z \gt \frac{30 - 32}{2} \right)$$ $$P(Z \gt -1)$$ Por las propiedades de simetría de la normal: $$P(Z \gt -1) = P(Z \le 1)$$ Buscamos el valor para $Z = 1$ en la tabla de la normal estándar: $$P(Z \le 1) = 0,8413$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S \gt 30) = 0,8413}$$ 💡 **Tip:** Para calcular $P(Z \gt -a)$, recuerda que es igual a $P(Z \lt a)$ por la simetría de la campana de Gauss.