Ecuaciones matriciales y cálculo de la matriz inversa

**a) Calcule el valor del parámetro real $m$ para que $A^2 - 5A = -4I$, siendo $I$ la matriz identidad.** En primer lugar, calculamos $A^2$ realizando el producto de la matriz $A$ por sí misma: $$A^2 = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & m & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & m & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos filas por columnas: - Fila 1: $(3\cdot3 + 1\cdot0 + 2\cdot1) = 11$; $(3\cdot1 + 1\cdot m + 2\cdot(-1)) = m+1$; $(3\cdot2 + 1\cdot0 + 2\cdot2) = 10$ - Fila 2: $(0\cdot3 + m\cdot0 + 0\cdot1) = 0$; $(0\cdot1 + m\cdot m + 0\cdot(-1)) = m^2$; $(0\cdot2 + m\cdot0 + 0\cdot2) = 0$ - Fila 3: $(1\cdot3 + (-1)\cdot0 + 2\cdot1) = 5$; $(1\cdot1 + (-1)\cdot m + 2\cdot(-1)) = -m-1$; $(1\cdot2 + (-1)\cdot0 + 2\cdot2) = 6$ $$A^2 = \begin{pmatrix} 11 & m+1 & 10 \\ 0 & m^2 & 0 \\ 5 & -m-1 & 6 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $5A$ multiplicando cada elemento de $A$ por $5$: $$5A = 5 \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & m & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 & 5 & 10 \\ 0 & 5m & 0 \\ 5 & -5 & 10 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices el número de columnas de la primera debe coincidir con el de filas de la segunda. El producto se hace sumando los productos de los elementos de la fila $i$ por los de la columna $j$.

Planteamos la resta $A^2 - 5A$: $$A^2 - 5A = \begin{pmatrix} 11-15 & m+1-5 & 10-10 \\ 0-0 & m^2-5m & 0-0 \\ 5-5 & -m-1-(-5) & 6-10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & m-4 & 0 \\ 0 & m^2-5m & 0 \\ 0 & -m+4 & -4 \end{pmatrix}$$ Igualamos este resultado a $-4I$, donde $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$: $$\begin{pmatrix} -4 & m-4 & 0 \\ 0 & m^2-5m & 0 \\ 0 & -m+4 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}$$ Para que dos matrices sean iguales, todos sus elementos correspondientes deben ser iguales. Esto genera el siguiente sistema de ecuaciones para $m$: 1) $m - 4 = 0 \implies m = 4$ 2) $m^2 - 5m = -4 \implies m^2 - 5m + 4 = 0$ 3) $-m + 4 = 0 \implies m = 4$ Resolvemos la ecuación de segundo grado $m^2 - 5m + 4 = 0$: $$m = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \implies m_1 = 4, m_2 = 1$$ Para que se cumplan **todas** las igualdades simultáneamente, el valor de $m$ debe ser común a todas las ecuaciones. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = 4}$$ 💡 **Tip:** En problemas con parámetros, asegúrate de que el valor hallado satisface todas las posiciones de la matriz resultante.

**b) Para $m = 1$, indique si la matriz $A$ es invertible y, en caso afirmativo, calcule su inversa.** Sustituimos $m = 1$ en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$ Una matriz es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos $|A|$ por la regla de Sarrus o desarrollando por la segunda fila (que tiene ceros): $$|A| = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (6 - 2) = 4$$ Como $|A| = 4 \neq 0$, **la matriz $A$ es invertible**. 💡 **Tip:** Desarrollar por una fila o columna que contenga muchos ceros simplifica enormemente el cálculo del determinante.

Calculamos la matriz inversa mediante la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (Adj(A))^t$. 1. Hallamos la matriz de adjuntos $Adj(A)$ calculando los menores correspondientes: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 2$; $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$; $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = -4$; $A_{22} = +\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4$; $A_{23} = -\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 4$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -2$; $A_{32} = -\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$; $A_{33} = +\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 3$ $$Adj(A) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -4 & 4 & 4 \\ -2 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$ 2. Calculamos la traspuesta de la adjunta $(Adj(A))^t$: $$(Adj(A))^t = \begin{pmatrix} 2 & -4 & -2 \\ 0 & 4 & 0 \\ -1 & 4 & 3 \end{pmatrix}$$ 3. Dividimos por el determinante $|A| = 4$: $$A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 2 & -4 & -2 \\ 0 & 4 & 0 \\ -1 & 4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & -1 & -1/2 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1/4 & 1 & 3/4 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 0.5 & -1 & -0.5 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0.25 & 1 & 0.75 \end{pmatrix}}$$