Programación Lineal: Región Factible y Optimización

**a) Determine las coordenadas de sus vértices y represente en el plano la región S.** Para resolver este problema de programación lineal, primero transformamos las inecuaciones que definen la región $S$ en ecuaciones de rectas para identificar sus fronteras: 1. $r_1: x = 3$ (Recta vertical) 2. $r_2: y = 0$ (Eje X) 3. $r_3: y = 15$ (Recta horizontal) 4. $r_4: y - 5 + \frac{x}{2} = 0 \implies y = -\frac{1}{2}x + 5$ 5. $r_5: y - x = 10 \implies y = x + 10$ 6. $r_6: y + 20 = 2x \implies y = 2x - 20$ 💡 **Tip:** Recuerda que las desigualdades determinan semiplanos. Para saber qué lado de la recta es el válido, podemos tomar un punto de prueba (como el $(0,0)$ si no pasa por la recta) y comprobar si cumple la inecuación.

Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por la intersección de las rectas frontera, teniendo en cuenta las restricciones del enunciado: - **Vértice $A$** (Intersección $x=3$ y $y = -\frac{1}{2}x + 5$): $y = -\frac{1}{2}(3) + 5 = -1.5 + 5 = 3.5 \implies \mathbf{A(3, 3.5)}$ - **Vértice $B$** (Intersección $x=3$ y $y = x + 10$): $y = 3 + 10 = 13 \implies \mathbf{B(3, 13)}$ - **Vértice $C$** (Intersección $y=15$ y $y = x + 10$): $15 = x + 10 \implies x = 5 \implies \mathbf{C(5, 15)}$ - **Vértice $D$** (Intersección $y=15$ y $y = 2x - 20$): $15 = 2x - 20 \implies 35 = 2x \implies x = 17.5 \implies \mathbf{D(17.5, 15)}$ - **Vértice $E$** (Intersección $y = -\frac{1}{2}x + 5$ y $y = 2x - 20$): $-\frac{1}{2}x + 5 = 2x - 20 \implies 2.5x = 25 \implies x = 10$ $y = 2(10) - 20 = 0 \implies \mathbf{E(10, 0)}$ 💡 **Tip:** Es fundamental verificar que los puntos obtenidos cumplan todas las inecuaciones originales para asegurar que pertenecen a la región factible. $$\boxed{Vértices: A(3, 3.5), B(3, 13), C(5, 15), D(17.5, 15), E(10, 0)}$$

Dibujamos las rectas y sombreamos la región común a todos los semiplanos definidos por las inecuaciones. Como podemos ver en el interactivo, la región $S$ es un polígono cerrado (pentágono) con los vértices calculados anteriormente.

**b) Obtenga el valor máximo y el valor mínimo de la función $f(x, y) = x + y$ en esta región, indicando los puntos en los cuales se alcanzan estos valores.** Según el teorema fundamental de la programación lineal, si la región factible es un polígono cerrado y acotado, los valores máximo y mínimo de la función objetivo se encuentran en uno de sus vértices. Evaluamos $f(x, y) = x + y$ en cada uno de los vértices: $$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{Vértice } (x, y) & f(x, y) = x + y \\ \hline A(3, 3.5) & 3 + 3.5 = 6.5 \\ \hline B(3, 13) & 3 + 13 = 16 \\ \hline C(5, 15) & 5 + 15 = 20 \\ \hline D(17.5, 15) & 17.5 + 15 = 32.5 \\ \hline E(10, 0) & 10 + 0 = 10 \\ \hline \end{array}$$ 💡 **Tip:** Para visualizar la optimización, podrías trazar las rectas de nivel $x + y = k$ y ver cuál es la última en abandonar la región al aumentar $k$ (máximo) o la primera al disminuir $k$ (mínimo).

Comparando los resultados obtenidos en el paso anterior, identificamos los valores extremos: - El **valor máximo** es **32.5** y se alcanza en el punto **$D(17.5, 15)$**. - El **valor mínimo** es **6.5** y se alcanza en el punto **$A(3, 3.5)$**. ✅ **Resultado Final:** $$\boxed{\text{Máximo: } 32.5 \text{ en } (17.5, 15), \text{ Mínimo: } 6.5 \text{ en } (3, 3.5)}$$